Absolutní konvergence řad. Absolutní a podmíněná konvergence řad Střídavé řady

s (obecně řečeno) komplexními členy, u kterých řada konverguje

Pro absolutní konvergenceřada (1) je nutné a postačující (Cauchyho kritérium pro absolutní konvergenci řady), aby pro libovolnou existovalo takové číslo, že pro všechna čísla a všechna celá čísla platí:

Pokud je řada absolutně konvergentní, pak konverguje. Řádek

absolutně konverguje a řada

konverguje, ale ne absolutně. Nechat

Řada složená ze stejných pojmů jako řada (1), ale obecně řečeno v jiném pořadí. Z absolutní konvergence řady (1) vyplývá absolutní konvergence řady (3) a řada (3) má stejný součet jako řada (1). Pokud řádky

absolutně konvergovat, pak: jakákoli jejich lineární kombinace

také absolutně konverguje; řada získaná ze všech možných párových součinů členů těchto řad, uspořádaných v libovolném pořadí, je také absolutně konvergentní a její součet se rovná součinu součtů těchto řad. Uvedené vlastnosti absolutně konvergentních řad přenášejí do více řádků

absolutně konverguje, tj. všechny řady získané sekvenčním sčítáním členů řady (4) pomocí indexů konvergují absolutně a součty vícenásobných řad (4) a opakovaných řad (5) jsou stejné a shodují se se součtem libovolné vytvořené jediné řady ze všech členů řady (4).

Pokud jsou členy řady (1) prvky určitého Banachova prostoru s normou prvků, pak se nazývá řada (1). absolutně konvergentní, pokud řada konverguje

V případě A. s. R. prvků Banachova prostoru se zobecňují výše uvažované vlastnosti absolutně konvergentních číselných řad, zejména algebraických systémů. R. prvky Banachova prostoru se sbíhají v tomto prostoru. Obdobným způsobem se koncept A. s. R. přenáší do více sérií v Banachově prostoru.

Matematická encyklopedie. - M.: Sovětská encyklopedie. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Podívejte se, co je „ABSOLUTNĚ KONVERGENTNÍ ŘADA“ v jiných slovnících:

Funkční řada (1) s (obecně řečeno) komplexními členy, konvergujícími na množině X a taková, že pro libovolné e>0 existuje číslo ne , že pro všechna n>ne a všechny nerovnosti kde a Jinými slovy, a posloupnost dílčích ... ... Matematická encyklopedie

Obsah. 1) Definice. 2) Číslo určené řadou. 3) Konvergence a divergence řad. 4) Podmíněná a absolutní konvergence. 5) Rovnoměrná konvergence. 6) Rozšíření funkcí do řad. 1. Definice. R. je posloupnost prvků...... Encyklopedický slovník F.A. Brockhaus a I.A. Efron

Nekonečný součet, posloupnost prvků (nazývaných členy dané řady) určité lineární topologie. prostor a určitá nekonečná množina jejich konečných součtů (tzv. částečné součty světa... ... Matematická encyklopedie

Řada, nekonečný součet, například tvaru u1 + u2 + u3 +... + un +... nebo zkráceně . (1) Jedním z nejjednodušších příkladů posloupnosti, který se již v elementární matematice vyskytuje, je součet nekonečně klesající geometrické posloupnosti 1 + q + q 2 +... + q... ...

I je nekonečný součet například tvaru u1 + u2 + u3 +... + un +... nebo zkráceně Jeden z nejjednodušších příkladů součtu, který najdeme již v elementární matematice, je nekonečně klesající suma ... ... Velká sovětská encyklopedie

Posloupnost funkcí, které v nezastíněné oblasti konvergují k přirozenému logaritmu (červená). V tomto případě se jedná o N-tý dílčí součet mocninné řady, kde N udává počet členů. Funkční řada ... Wikipedie

S je násobná řada, vyjádření tvaru tvořeného členy tabulky Každý člen této tabulky je očíslován indexy m, n, . . . , p, které procházejí všemi přirozenými čísly nezávisle na sobě. Teorie K. r. podobně jako teorie dvojitých řad. Viz také…… Matematická encyklopedie

Řada kosinus a sinů více oblouků, tj. řada ve tvaru nebo v komplexní formě, kde se nazývají ak, bk nebo ck. koeficienty T.r Poprvé T. r. nalezený u L. Eulera (L. Euler, 1744). Přijímal rozklady v síře. 18. století ve spojení s... ... Matematická encyklopedie

Řada kde jsou funkce, které jsou holomorfní v nějaké oblasti nezávislé na k. Jestliže pro všechny, pak se zavolá řada (*). poblíž Hartogsa. Jakákoli funkce, která je holomorfní v Hartogsově doméně typu D, může být v rámci DG rozložena na absolutně a rovnoměrně konvergentní funkci. L.r. Plně... ... Matematická encyklopedie

Střídavá řada je zvláštní případ střídavé řady.

Definice 2.2.Číselná řada, jejíž členy za libovolným číslem mají různá znamení, volal střídavé znamení .

Pro střídavé série platí: obecný dostatečný test pro konvergenci.

Věta 2.2. Nechť je dána střídavá řada

Pokud řada složená z modulů členů této řady konverguje

pak samotná střídavá řada (2.2) konverguje.

Je třeba poznamenat, že obrácené tvrzení neplatí: pokud řada (2.2) konverguje, neznamená to, že řada (2.3) bude konvergovat.

Definice 2.3. absolutně konvergentní , jestliže řada složená z modulů jejích členů konverguje.

Nazývá se střídavá řada podmíněně konvergentní , pokud sama konverguje, ale řada složená z modulů jejích členů diverguje.

Mezi střídajícími se řadami zaujímají zvláštní místo absolutně konvergentní řady. Takové řady mají řadu vlastností, které budeme formulovat bez důkazu.

Součin dvou absolutně konvergentních řad se součty je absolutně konvergentní řada, jejíž součet je roven .

Absolutně konvergentní řady se tedy sčítají, odečítají a násobí jako běžné řady. Součet takových řad nezávisí na pořadí, ve kterém jsou výrazy napsány.

V případě podmíněně konvergentních řad odpovídající tvrzení (vlastnosti) obecně neplatí.

Přeskupením členů podmíněně konvergentní řady je tedy možné zajistit, aby se součet řady měnil. Například seriál podmíněně konverguje podle Leibnizova testu. Nechť se součet této řady rovná . Přepišme jeho termíny tak, aby po jednom kladném termínu byly dva záporné. Dostáváme sérii

Částka byla snížena na polovinu!

Navíc přeskupením členů podmíněně konvergentní řady lze získat konvergentní řadu s předem určeným součtem nebo divergentní řadu (Riemannův teorém).

Operace na řadách proto nelze provádět bez zajištění jejich absolutní konvergence. K nastolení absolutní konvergence se používají všechny znaky konvergence číselných řad s kladnými členy, přičemž se všude nahrazuje společný člen jeho modulem.

Příklad 2.1. .

Řešení. Původní série se střídá. Uvažujme řadu složenou z absolutních hodnot členů dané řady, tzn. řádek . Od , pak podmínky podobné řady nejsou větší než podmínky Dirichletovy řady , o kterém je známo, že konverguje. Na základě srovnávacího kritéria tedy tato řada absolutně konverguje. ,

Příklad 2.2. Prozkoumejte konvergenci řady.

Řešení.

2) Uvažujme řadu složenou z absolutních členů. Zkoumáme konvergenci pomocí d'Alembertova testu

Podle d'Alembertova kritéria řada složená z absolutních členů konverguje. To znamená, že původní střídavá řada absolutně konverguje. ,

Příklad 2.3. Prozkoumejte konvergenci řady .

Řešení. 1) Tato řada se střídá. Používáme Leibnizovo kritérium. Pojďme zkontrolovat, zda jsou splněny podmínky.

Proto původní řada konverguje.

2) Uvažujme řadu složenou z absolutních členů. Zkoumáme konvergenci pomocí limitního srovnávacího testu. Zvažte harmonickou řadu, která se liší.

Následně se obě řady chovají identicky, tzn. řada složená z absolutních členů se také rozchází. To znamená, že původní střídající se řada podmíněně konverguje. ,

Nyní přejdeme ke studiu řad, jejichž členy jsou reálná čísla libovolného znaménka.

Definice 1. Nazveme řadu

absolutně konvergentní, pokud řada konverguje

Všimněte si, že tato definice neříká nic o tom, zda se předpokládá, že řada (1.49) samotná konverguje. Ukazuje se, že takový předpoklad by byl zbytečný, protože následující věta je pravdivá.

Věta 1.9. Konvergence řady (1.50) implikuje konvergenci řady (1.49).

Důkaz. Pro řadu použijeme Cauchyho kritérium (tj. věta 1.1). Je třeba dokázat, že pro libovolné číslo existuje takové číslo, že pro všechna čísla splňující podmínku a pro jakékoli přirozené číslo platí následující nerovnost:

Opravujeme jakékoli. Protože řada (1.50) konverguje, pak podle věty 1.1 existuje číslo takové, že pro všechna čísla splňující podmínku a pro libovolné přirozené číslo platí následující nerovnost:

Protože modul součtu několika členů nepřesahuje součet jejich modulů, pak

Porovnáním nerovností (1,52) a (1,53) získáme nerovnosti (1,51). Věta je dokázána.

Definice 2. Řada (1.49) se nazývá podmíněně konvergentní, pokud tato řada konverguje, zatímco odpovídající řada modulů (1.50) diverguje.

Příkladem absolutně konvergentní řady je řada.

Tato řada konverguje absolutně, protože když řada (1.33) konverguje.

Uveďme příklad podmíněně konvergentní řady. Dokažme podmíněnou konvergenci řady

Protože odpovídající řada modulů (harmonická řada), jak již víme, diverguje, pak k prokázání podmíněné konvergence řady (1.54) stačí dokázat, že tato řada konverguje. Dokažme, že řada (1.54) konverguje k číslu . V odst. 2 § 9 písm. 6 část 1 jsme získali rozklad funkce podle Maclaurinova vzorce

Tam byl pro všechna x ze segmentu získán následující odhad zbývajícího členu.

Řádek

Nechť je dána řada ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n)) A α = lim ¯ n → ∞ ⁡ | a n | n (\displaystyle \alpha =\varlimsup _(n\to \infty )(\sqrt[(n)](|a_(n)|))). Pak

Výrok o konvergenci v Cauchyho a d'Alembertově testu je odvozen ze srovnání s geometrickou progresí (se jmenovateli lim ¯ n → ∞ ⁡ | a n + 1 a n | (\displaystyle \varlimsup _(n\to \infty )\left|(\frac (a_(n+1))(a_(n)))\right|) A α (\displaystyle \alpha ) respektive), o divergenci - od skutečnosti, že společný člen řady nemá tendenci k nule.

Cauchyho znamení silnější znamení D'Alembertův test v tom smyslu, že jestliže D'Alembertův test indikuje konvergenci, pak Cauchyho test také indikuje konvergenci; pokud Cauchyho test neumožňuje vyvodit závěr o konvergenci, pak D'Alembertův test také neumožňuje vyvodit žádné závěry; Existují řady, pro které Cauchyho test ukazuje na konvergenci, ale D'Alembertův test neindikuje konvergenci.

Integrální Cauchy-Maclaurinův test

Nechť je dána řada ∑ n = 1 ∞ a n , a n ⩾ 0 (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n),a_(n)\geqslant 0) a funkce f (x) : R → R (\displaystyle f(x):\mathbb (R) \to \mathbb (R) ) takové, že:

Pak série ∑ n = 1 ∞ a n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n)) a integrální ∫ 1 ∞ f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(1)^(\infty )f(x)dx) současně konvergují nebo divergují a ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ a n ⩾ ∫ k ∞ f (x) d x ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ a n (\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _\n=k)^( )a_(n)\geqslant \int \limits _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))

Raabeho znamení

Nechť je dána řada ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n)), a n > 0 (\displaystyle a_(n)>0) A R n = n (a n a n + 1 − 1) (\displaystyle R_(n)=n\left((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\right)).

Raabeho test je založen na srovnání se zobecněnou harmonickou řadou

Akce na řádcích

Příklady

Zvažte seriál 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 + . . . (\displaystyle (\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(2^(2)))+(\frac (1)(3^( 2)))+(\frac (1)(2^(3)))+...). Pro tento řádek:

Cauchyho test tedy ukazuje na konvergenci, zatímco D'Alembertův test nám neumožňuje vyvozovat žádné závěry.

Zvažte seriál ∑ n = 1 ∞ 2 n − (− 1) n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )2^(n-(-1)^(n)))

Cauchyho test tedy ukazuje na divergenci, zatímco D'Alembertův test nám neumožňuje vyvozovat žádné závěry.

Řádek ∑ n = 1 ∞ 1 n α (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n^(\alpha )))) konverguje v α > 1 (\displaystyle \alpha >1) a rozchází se v α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1), nicméně:

Cauchyho a d'Alembertova znamení nám tedy neumožňují dělat žádné závěry.

Řádek ∑ n = 1 ∞ (− 1) n n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n))) konverguje podmíněně podle Leibnizova kritéria, ale ne absolutně, protože harmonická řada ∑ n = 1 ∞ | (− 1) n n | = ∑ n = 1 ∞ 1 n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )\left|(\frac ((-1)^(n))(n))\right|=\součet _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n))) se rozchází.

, je neomezený v levém sousedství bodu b (\displaystyle b). Nepravý integrál druhého druhu ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)dx) volal absolutně konvergentní, pokud integrál konverguje ∫ a b | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)|f(x)|dx).

Příklad 2

Zjistěte, zda řada konverguje.

Protože

Poté řada konverguje.

Integrální test konvergence

Integrální kritérium pro konvergenci vyjadřuje následující věta

Věta 1.8.

Vzhledem k sérii s pozitivními podmínkami

Pokud je funkce spojitá, kladná a nezvyšuje se a v bodech nabývá hodnot, pak řada(1.23) a nesprávný integrál(1.24) zároveň konvergují nebo divergují.

Důkaz.

Li , tak odkud

;

Pokud integrál (1.24) konverguje a , Že s jakýmkoli přírodním Proto,

.

Jelikož se jedná o monotónně rostoucí a ohraničenou posloupnost, pak existuje, tzn. řada (1.23) také konverguje. Pokud řada (1.23) konverguje a , pak pro libovolný .

Z rovnosti (1,26) vyplývá, že na kterékoli . Nevlastní integrál také konverguje.

Pomocí integrálního testu lze dokázat, že řada

(1.27)

kde je nějaké reálné číslo, konverguje v a diverguje v .

Ve skutečnosti konverguje v a diverguje v .

Střídavé řady. Leibnizův test

Střídavě další je řada, která má libovolné dva členy s čísly a mají opačné znaménka, tj. řada formuláře

(1.30)

Důkaz.

Uvažujme dílčí součty řad (1.28) se sudými a lichými čísly:

Transformujme první z těchto součtů:

Kvůli podmínce (1,29) je rozdíl v každé závorce kladný, takže součet a pro všechny. Posloupnost sudých dílčích součtů je tedy monotónně rostoucí a omezená. Má limitu, kterou značíme , tzn. . Protože , pak, vezmeme-li v úvahu předchozí rovnost a podmínku (1.30), získáme

Takže posloupnost dílčích součtů dané řady se sudými a lichými čísly má stejnou limitu. Z toho vyplývá, že posloupnost všech dílčích součtů řady má limitu; těch. řada konverguje.

Příklad.

Zjistěte, zda řada konverguje

(1.31)

Tato řada se střídá. Konverguje, protože splňuje podmínky věty

Odhad pro zbytek střídavé řady je určen pomocí následující věty.

Věta 1.10.

Součet zbytku alternující řady, který splňuje podmínky Leibnizovy věty, má znaménko prvního zbývajícího členu a nepřesahuje jej v absolutní hodnotě.

Důkaz.

Uvažujme zbytek řady (1.28) za členy. Nechť tedy jeho součet, -i částečný součet

Protože jsou splněny podmínky věty 1.9 přede všemi, tzn. , kde

nebo

Podobně je prokázáno, že součet zbytku řady po termínech splňuje podmínky , tj. A .

Proto bez ohledu na sudé nebo liché

Zvažte řadu složenou z modulů členů této řady:

(1.34)

Věta 1.11.

Pokud řádek(1.34) konverguje, pak řada konverguje(1.33).

Důkaz.

Protože řada (1.34) konverguje, pak na základě Cauchyho kritéria (Věta 1.1) pro libovolné takové číslo existuje , pak pro všechna a libovolné celé číslo platí nerovnost

.

Že . To znamená, že řada (1.33) také konverguje.

Komentář.

Konvergence řady (1.33) neznamená konvergenci řady (1.34). Například seriál konverguje (viz kapitola 1.6) a řada modulů jejích členů diverguje (harmonická řada, viz kapitola 1.2).

absolutně konvergentní, pokud řada modulů jeho členů konverguje. Například seriál

je absolutně konvergentní, protože řada modulů jeho členů konverguje, tzn. řada (geometrická progrese se jmenovatelem , ).

Nazývá se střídavá řada neabsolutně konvergentní (podmíněně konvergentní), pokud konverguje, ale řada modulů jejích členů se rozchází. Například řada není absolutně konvergentní (viz poznámka).

Akce na řádcích.

Produkt řady

Věta 1.12.

Pokud řádek(1.35) konverguje, pak řada(1.36) také konverguje a

(1.37)

Důkaz.

Označme u - e dílčí součty řad (1.35) a (1.36), tzn.

Očividně, . Pokud řada (1.35) konverguje a její součet je roven , tzn. , , Že

Kromě řady (1.35) zvažte také řadu

také konverguje absolutně a jeho součet je roven

Komentář.

Pravidla pro práci s řadami se ne vždy shodují s pravidly pro práci s konečnými součty. Zejména v konečných součtech můžete libovolně měnit pořadí členů, seskupovat členy, jak chcete, a součet se nezmění. Členy konečného součtu mohou být přidány v obráceném pořadí, to není možné pro řadu, protože nemá poslední člen.

Ne vždy je možné seskupit členy do série. Například seriál

je divergentní, protože

a jeho dílčí množství není nijak omezeno. Po seskupení členů

získáme konvergentní řadu, její součet je nulový. S jiným seskupením členů

dostaneme konvergentní řadu, jejíž součet je roven jedné.

Uvádíme dvě věty bez důkazu.

Věta 1.14.

Změna uspořádání členů absolutně konvergentní řady neporušuje její konvergenci; součet řady zůstává stejný.

Věta 1.15.

Pokud řada nekonverguje absolutně, pak správným přeskupením jejích členů je vždy možné dát součtu řady libovolnou hodnotu a dokonce řadu udělat divergentní.