Absolutní a podmíněná konvergence řad. Absolutní konvergence řad Absolutní konvergence řad

Řádek

Nechť je dána řada ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n)) A α = lim ¯ n → ∞ ⁡ | a n | n (\displaystyle \alpha =\varlimsup _(n\to \infty )(\sqrt[(n)](|a_(n)|))). Pak

Výrok o konvergenci v Cauchyho a d'Alembertově testu je odvozen ze srovnání s geometrickou progresí (se jmenovateli lim ¯ n → ∞ ⁡ | a n + 1 a n | (\displaystyle \varlimsup _(n\to \infty )\left|(\frac (a_(n+1))(a_(n)))\right|) A α (\displaystyle \alpha ) respektive), o divergenci - od skutečnosti, že společný člen řady nemá tendenci k nule.

Cauchyho znamení silnější znamení D'Alembertův test v tom smyslu, že jestliže D'Alembertův test indikuje konvergenci, pak Cauchyho test také indikuje konvergenci; pokud Cauchyho test neumožňuje vyvodit závěr o konvergenci, pak D'Alembertův test také neumožňuje vyvodit žádné závěry; Existují řady, pro které Cauchyho test ukazuje na konvergenci, ale D'Alembertův test neindikuje konvergenci.

Integrální Cauchy-Maclaurinův test

Nechť je dána řada ∑ n = 1 ∞ a n , a n ⩾ 0 (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n),a_(n)\geqslant 0) a funkce f (x) : R → R (\displaystyle f(x):\mathbb (R) \to \mathbb (R) ) takové, že:

Pak série ∑ n = 1 ∞ a n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n)) a integrální ∫ 1 ∞ f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(1)^(\infty )f(x)dx) současně konvergují nebo divergují a ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ a n ⩾ ∫ k ∞ f (x) d x ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ a n (\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _\n=k)^( )a_(n)\geqslant \int \limits _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))

Raabeho znamení

Nechť je dána řada ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n)), a n > 0 (\displaystyle a_(n)>0) A R n = n (a n a n + 1 − 1) (\displaystyle R_(n)=n\left((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\right)).

Raabeho test je založen na srovnání se zobecněnou harmonickou řadou

Akce na řádcích

Příklady

Zvažte seriál 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 + . . . (\displaystyle (\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(2^(2)))+(\frac (1)(3^( 2)))+(\frac (1)(2^(3)))+...). Pro tento řádek:

Cauchyho test tedy ukazuje na konvergenci, zatímco D'Alembertův test nám neumožňuje vyvozovat žádné závěry.

Zvažte seriál ∑ n = 1 ∞ 2 n − (− 1) n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )2^(n-(-1)^(n)))

Cauchyho test tedy ukazuje na divergenci, zatímco D'Alembertův test nám neumožňuje vyvozovat žádné závěry.

Řádek ∑ n = 1 ∞ 1 n α (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n^(\alpha )))) konverguje v α > 1 (\displaystyle \alpha >1) a rozchází se v α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1), nicméně:

Cauchyho a d'Alembertova znamení nám tedy neumožňují dělat žádné závěry.

Řádek ∑ n = 1 ∞ (− 1) n n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n))) konverguje podmíněně podle Leibnizova kritéria, ale ne absolutně, protože harmonická řada ∑ n = 1 ∞ | (− 1) n n | = ∑ n = 1 ∞ 1 n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )\left|(\frac ((-1)^(n))(n))\right|=\součet _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n))) se rozchází.

, je neomezený v levém sousedství bodu b (\displaystyle b). Nepravý integrál druhého druhu ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)dx) volal absolutně konvergentní, pokud integrál konverguje ∫ a b | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)|f(x)|dx).

Příklad 2

Zjistěte, zda řada konverguje.

Protože

Poté řada konverguje.

Integrální test konvergence

Integrální kritérium pro konvergenci vyjadřuje následující věta

Věta 1.8.

Vzhledem k sérii s pozitivními podmínkami

Pokud je funkce spojitá, kladná a nezvyšuje se a v bodech nabývá hodnot, pak řada(1.23) a nesprávný integrál(1.24) zároveň konvergují nebo divergují.

Důkaz.

Li , pak kde

;

Pokud integrál (1.24) konverguje a , Že s jakýmkoli přírodním Proto,

Jelikož je posloupnost monotónně rostoucí a ohraničená, pak existuje, tzn. řada (1.23) také konverguje. Pokud řada (1.23) konverguje a , pak pro libovolný .

Z rovnosti (1,26) vyplývá, že na kterékoli . Nevlastní integrál také konverguje.

Pomocí integrálního testu lze dokázat, že řada

(1.27)

kde je nějaké reálné číslo, konverguje v a diverguje v .

Ve skutečnosti konverguje v a diverguje v .

Střídavé řady. Leibnizův test

Střídavě další je řada, která má libovolné dva členy s čísly a mají opačné znaky, tj. řada formuláře

(1.30)

Důkaz.

Uvažujme dílčí součty řad (1.28) se sudými a lichými čísly:

Transformujme první z těchto součtů:

Kvůli podmínce (1,29) je rozdíl v každé závorce kladný, takže součet a pro všechny. Posloupnost sudých dílčích součtů je tedy monotónně rostoucí a omezená. Má limitu, kterou značíme , tzn. . Protože , pak, vezmeme-li v úvahu předchozí rovnost a podmínku (1.30), získáme

Takže posloupnost dílčích součtů dané řady se sudými a lichými čísly má stejnou limitu. Z toho vyplývá, že posloupnost všech dílčích součtů řady má limitu; těch. řada konverguje.

Příklad.

Zjistěte, zda řada konverguje

(1.31)

Tato řada se střídá. Konverguje, protože splňuje podmínky věty

Odhad pro zbytek střídavé řady je určen pomocí následující věty.

Věta 1.10.

Součet zbytku alternující řady, který splňuje podmínky Leibnizovy věty, má znaménko prvního zbývajícího členu a nepřesahuje jej v absolutní hodnotě.

Důkaz.

Uvažujme zbytek řady (1.28) za členy. Nechť tedy jeho součet, -i částečný součet

Protože jsou splněny podmínky věty 1.9 přede všemi, tzn. , kde

nebo

Podobně je prokázáno, že součet zbytku řady po termínech splňuje podmínky , tj. A .

Proto bez ohledu na sudé nebo liché

Zvažte řadu složenou z modulů členů této řady:

(1.34)

Věta 1.11.

Pokud řádek(1.34) konverguje, pak řada konverguje(1.33).

Důkaz.

Protože řada (1.34) konverguje, pak na základě Cauchyho kritéria (Věta 1.1) pro libovolné takové číslo existuje , pak pro všechna a libovolné celé číslo platí nerovnost

Že . To znamená, že řada (1.33) také konverguje.

Komentář.

Konvergence řady (1.33) neznamená konvergenci řady (1.34). Například seriál konverguje (viz kapitola 1.6) a řada modulů jejích členů diverguje (harmonická řada, viz kapitola 1.2).

absolutně konvergentní, jestliže řada modulů jeho členů konverguje. Například seriál

je absolutně konvergentní, protože řada modulů jeho členů konverguje, tzn. řada (geometrická progrese se jmenovatelem , ).

Nazývá se střídavá řada neabsolutně konvergentní (podmíněně konvergentní), pokud konverguje, ale řada modulů jejích členů se rozchází. Například řada není absolutně konvergentní (viz poznámka).

Akce na řádcích.

Produkt řady

Věta 1.12.

Pokud řádek(1.35) konverguje, pak řada(1.36) také konverguje a

(1.37)

Důkaz.

Označme u - e dílčí součty řad (1.35) a (1.36), tzn.

Očividně, . Pokud řada (1.35) konverguje a její součet je roven , tzn. , , Že

Kromě řady (1.35) zvažte také řadu

také konverguje absolutně a jeho součet je roven

Komentář.

Pravidla pro práci s řadami se ne vždy shodují s pravidly pro práci s konečnými součty. Zejména v konečných součtech můžete libovolně měnit pořadí členů, seskupovat členy, jak chcete, a součet se nezmění. Členy konečného součtu lze sčítat v obráceném pořadí; to není možné u řady, protože nemá poslední člen.

Ne vždy je možné seskupit členy do série. Například seriál

je divergentní, protože

a jeho dílčí množství není nijak omezeno. Po seskupení členů

získáme konvergentní řadu, její součet je nulový. S jiným seskupením členů

dostaneme konvergentní řadu, jejíž součet je roven jedné.

Uvádíme dvě věty bez důkazu.

Věta 1.14.

Přeuspořádání členů absolutně konvergentní řady neporušuje její konvergenci, součet řady zůstává stejný.

Věta 1.15.

Pokud řada nekonverguje absolutně, pak správným přeskupením jejích členů je vždy možné dát součtu řady libovolnou hodnotu a dokonce řadu udělat divergentní.

Nyní přejdeme ke studiu řad, jejichž členy jsou reálná čísla libovolného znaménka.

Definice 1. Nazveme řadu

absolutně konvergentní, pokud řada konverguje

Všimněte si, že tato definice neříká nic o tom, zda se předpokládá, že řada (1.49) samotná konverguje. Ukazuje se, že takový předpoklad by byl zbytečný, protože následující věta je pravdivá.

Věta 1.9. Konvergence řady (1.50) implikuje konvergenci řady (1.49).

Důkaz. Pro řadu použijeme Cauchyho kritérium (tj. věta 1.1). Je třeba dokázat, že pro libovolné číslo existuje takové číslo, že pro všechna čísla splňující podmínku a pro jakékoli přirozené číslo platí následující nerovnost:

Opravujeme jakékoli. Protože řada (1.50) konverguje, pak podle věty 1.1 existuje číslo takové, že pro všechna čísla splňující podmínku a pro libovolné přirozené číslo platí následující nerovnost:

Protože modul součtu několika členů nepřesahuje součet jejich modulů, pak

Porovnáním nerovností (1,52) a (1,53) získáme nerovnosti (1,51). Věta byla prokázána.

Definice 2. Řada (1.49) se nazývá podmíněně konvergentní, pokud tato řada konverguje, zatímco odpovídající řada modulů (1.50) diverguje.

Příkladem absolutně konvergentní řady je řada.

Tato řada konverguje absolutně, protože když řada (1.33) konverguje.

Uveďme příklad podmíněně konvergentní řady. Dokažme podmíněnou konvergenci řady

Protože odpovídající řada modulů (harmonická řada), jak již víme, diverguje, pak k prokázání podmíněné konvergence řady (1.54) stačí dokázat, že tato řada konverguje. Dokažme, že řada (1.54) konverguje k číslu . V odst. 2 § 9 písm. 6 část 1 jsme získali rozklad funkce podle Maclaurinova vzorce

Tam byl pro všechna x ze segmentu získán následující odhad zbývajícího členu.

Střídavé řady jsou řady, jejichž členy jsou střídavě kladné a záporné. . Nejčastěji se uvažují střídavé řady, ve kterých se pojmy střídají jeden za druhým: po každém kladu následuje zápor, po záporu klad. Existují však střídavé řady, ve kterých se členové střídají po dvou, třech a tak dále.

Zvažte příklad střídavé řady, jejíž začátek vypadá takto:

3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...

a hned hlavní pravidla záznamy střídajících se řádků.

Stejně jako u jakékoli řady, chcete-li pokračovat v dané řadě, musíte zadat funkci, která určuje společný člen řady. V našem případě ano n + 2 .

Jak nastavit střídání znaků členů řady? Násobení funkce mínus jedna do určité míry. v jaké míře? Ihned zdůrazněme, že ne každý stupeň zajišťuje střídání znamének pro členy řady.

Řekněme, že chceme, aby první člen střídavé řady měl kladné znaménko, jako je tomu ve výše uvedeném příkladu. Pak mínus jedna musí být k moci n− 1. Začněte do tohoto výrazu dosazovat čísla od jedné a dostanete jako exponent pro mínus jedna, sudé nebo liché číslo. Tak to je nutná podmínka střídavé znamení! Stejný výsledek dostaneme, když n+ 1. Pokud chceme, aby první člen střídavé řady byl se záporným znaménkem, můžeme tuto řadu definovat vynásobením funkce společného členu jednou mocninou n. Dostaneme sudé číslo, liché číslo a tak dále. Jak vidíme, již popsaná podmínka pro střídavé znamení je splněna.

Výše uvedené střídavé řady tedy můžeme napsat v obecném tvaru:

Chcete-li střídat znaménka člena řady, mocnina mínus jedna může být součet n a jakékoli kladné nebo záporné, sudé nebo liché číslo. Totéž platí pro 3 n , 5n, ... To znamená, že střídání znamének členů střídavé řady poskytuje stupeň v minus jedna ve formě součtu n, vynásobené libovolným lichým číslem a libovolným číslem.

Jaké mocniny v minus jedna nezajistí střídání znamének členů řady? Ty, které jsou přítomny ve formuláři n, vynásobený libovolným sudým číslem, ke kterému bylo přičteno libovolné číslo, včetně nuly, sudé nebo liché. Příklady ukazatelů takových stupňů: 2 n , 2n + 1 , 2n − 1 , 2n + 3 , 4n+ 3 ... V případě takových mocnin se v závislosti na tom, k jakému číslu se přičte „en“, vynásobí sudým číslem, získají buď pouze sudá, nebo pouze lichá čísla, což, jak jsme již zjistili, dát střídání znaků členů řady .

Střídavé série - zvláštní případ střídavé série . Střídavé řady jsou řady s členy libovolných znamének , tedy takové, které mohou být pozitivní a negativní v libovolném pořadí. Příklad střídavé řady:

3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...

Dále uvažujeme o znacích konvergence střídavých a střídavých řad. Podmíněnou konvergenci střídavých řad znaků lze stanovit pomocí Leibnizova testu. A pro širší rozsah řad - střídavé řady (včetně střídavé řady) - platí kritérium absolutní konvergence.

Konvergence střídavých řad znaků. Leibnizův test

Pro řadu střídavých znaků platí následující kritérium konvergence – Leibnizovo kritérium.

Věta (Leibnizův test).Řada konverguje a její součet nepřesáhne první člen, pokud jsou současně splněny následující dvě podmínky:

absolutní hodnoty členů střídavé řady se snižují: u1 > u 2 > u 3 > ... > u n>...;
limit jeho běžného termínu s neomezeným navýšením n rovna nule.

Následek. Vezmeme-li součet střídavé řady jako součet jejích n výrazy, pak povolená chyba nepřekročí absolutní hodnotu prvního vyřazeného výrazu.

Příklad 1. Prozkoumejte konvergenci řady

Řešení. Jedná se o střídavou řadu. Absolutní hodnoty jejích členů se snižují:

a limit běžného termínu

rovná se nule:

Obě podmínky Leibnizova testu jsou splněny, takže řada konverguje.

Příklad 2 Prozkoumejte konvergenci řady

Řešení. Jedná se o střídavou řadu. Nejprve dokazujeme, že:

, .

Li N= 1, tedy pro všechny n > N nerovnost 12 platí n − 7 > n. Na druhou stranu pro všechny n. To znamená, že členy řady klesají v absolutní hodnotě. Najdeme limitu obecného členu řady (pomocí L'Hopitalovo pravidlo):

Limit společného členu je nula. Obě podmínky Leibnizova testu jsou splněny, takže odpověď na otázku konvergence je kladná.

Příklad 3 Prozkoumejte konvergenci řady

Řešení. Vzhledem k tomu, že se střídají série. Zjistíme, zda je splněna první podmínka Leibnizova kritéria, tedy požadavek. Aby byl požadavek splněn, je nutné, aby

Zajistili jsme, aby byl požadavek splněn pro každého n > 0 . První Leibnizovo kritérium je splněno. Pojďme najít limit obecného termínu řady:

Limit není nula. Není tedy splněna druhá podmínka Leibnizova kritéria, takže konvergence nepřichází v úvahu.

Příklad 4. Prozkoumejte konvergenci řady

Řešení. V této sérii po dvou záporných termínech následují dva kladné. I tato řada se střídá. Pojďme zjistit, zda je splněna první podmínka Leibnizova testu.

Požadavek je splněn pro všechny n > 1 . První Leibnizovo kritérium je splněno. Pojďme zjistit, zda je limita obecného členu rovna nule (aplikujeme L'Hopitalovo pravidlo):

Máme nulu. Obě podmínky Leibnizova kritéria jsou tedy splněny. Konvergence probíhá.

Příklad 5. Prozkoumejte konvergenci řady

Řešení. Jedná se o střídavou řadu. Pojďme zjistit, zda je splněna první podmínka Leibnizova testu. Protože

Protože n ≥ 0 , pak 3 n+ 2 > 0. Na druhou stranu pro všechny n, Proto . V důsledku toho se členy řady v absolutní hodnotě snižují. První Leibnizovo kritérium je splněno. Pojďme zjistit, zda je limita obecného členu řady rovna nule (aplikujeme L'Hopitalovo pravidlo):

Dostali jsme nulovou hodnotu. Obě podmínky Leibnizova testu jsou splněny, takže tato řada konverguje.

Příklad 6. Prozkoumejte konvergenci řady

Řešení. Pojďme zjistit, zda je pro tuto střídavou řadu splněna první podmínka Leibnizova testu:

V absolutní hodnotě se členy řady snižují. První Leibnizovo kritérium je splněno. Pojďme zjistit, zda je limita běžného členu rovna nule:

Limit společného členu není nula. Druhá podmínka Leibnizova kritéria není splněna. Proto se tato řada rozchází.

Leibnizův test je znamení podmíněná konvergence řady. To znamená, že závěry o konvergenci a divergenci výše uvažovaných střídavých řad lze doplnit: tyto řady konvergují (nebo divergují) podmíněně.

Absolutní konvergence střídavých řad

Nechte řádek

– střídavý znak. Uvažujme řadu složenou z absolutních hodnot jejích členů:

Definice. O řadě se říká, že je absolutně konvergentní, pokud konverguje řada složená z absolutních hodnot jejích členů. Pokud střídající řada konverguje a řada složená z absolutních hodnot jejích členů se rozchází, pak se taková střídající řada nazývá podmíněně nebo neabsolutně konvergentní .

Teorém. Pokud řada konverguje absolutně, konverguje podmíněně.

Příklad 7. Určete, zda řada konverguje

Řešení. Této řadě vedle kladných pojmů odpovídá řada This zobecněné harmonické řady, ve kterém se tedy řada rozchází. Pojďme si ověřit, zda jsou splněny podmínky Leibnizova testu.

Napišme absolutní hodnoty prvních pěti členů řady:

Jak vidíme, členy řady klesají v absolutní hodnotě. První Leibnizovo kritérium je splněno. Pojďme zjistit, zda je limita běžného členu rovna nule:

Dostali jsme nulovou hodnotu. Obě podmínky Leibnizova testu jsou splněny. To znamená, že podle Leibnizova kritéria dochází ke konvergenci. A odpovídající řada s kladnými pojmy se rozchází. Proto tato řada podmíněně konverguje.

Příklad 8. Určete, zda řada konverguje

absolutně, podmíněně nebo se liší.

Řešení. Této řadě vedle kladných členů odpovídá řada Jedná se o zobecněnou harmonickou řadu, ve které se tedy řada rozchází. Pojďme si ověřit, zda jsou splněny podmínky Leibnizova testu.

Definice 1

Číselná řada $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, jejíž členy mají libovolná znaménka (+), (?), se nazývá střídavá řada.

Střídavé řady diskutované výše jsou zvláštním případem střídavých řad; Je jasné, že ne každá střídavá série je střídavá. Například řada $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ střídavé, ale ne střídavé řady.

Všimněte si, že ve střídavé řadě je nekonečně mnoho členů se znaménkem (+) i se znaménkem (-). Pokud to není pravda, například řada obsahuje konečný počet záporných členů, pak je lze vyřadit a uvažovat řadu složenou pouze z kladných členů a naopak.

Definice 2

Pokud číselná řada $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konverguje a její součet je roven S a dílčí součet je roven $S_n$ , pak $r_(n) ) =S-S_( n) $ se nazývá zbytek řady a $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty ) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\ až \infty ) (S-S_(n ))=S-S=0$, tzn. zbytek konvergentní řady má tendenci k 0.

Definice 3

Řada $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ se nazývá absolutně konvergentní, pokud řada složená z absolutních hodnot jejích členů $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.

Definice 4

Pokud číselná řada $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konverguje a řada $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_ (n )\vpravo| $, složený z absolutních hodnot svých členů, diverguje, pak se původní řada nazývá podmíněně (neabsolutně) konvergentní.

Věta 1 (dostatečné kritérium pro konvergenci střídavých řad)

Střídavá řada $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konverguje a absolutně, pokud řada složená z absolutních hodnot jejích členů konverguje $\sum \limits _( n=1)^ (\infty )\left|u_(n) \right| $.

Komentář

Věta 1 poskytuje pouze postačující podmínku pro konvergenci střídavých řad. Opačná věta neplatí, tzn. pokud střídavá řada $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ konverguje, pak není nutné, aby řada složená z modulů $\sum \limits _(n=1) ^( \infty )\left|u_(n) \right| $ (může být konvergentní nebo divergentní). Například řada $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ konverguje podle Leibnizova kritéria a řada složená z absolutních hodnot jejích členů $\sum \limits _(n=1 )^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (harmonická řada) diverguje.

Nemovitost 1

Pokud je řada $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ absolutně konvergentní, pak konverguje absolutně pro jakoukoli permutaci svých členů a součet řady nezávisí na pořadí podmínek. Jestliže $S"$ je součet všech jeho kladných členů a $S""$ je součet všech absolutních hodnot záporných členů, pak součet řady $\sum \limits _(n=1) ^(\infty )u_(n) $ se rovná $S=S"-S""$.

Nemovitost 2

Pokud je řada $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ absolutně konvergentní a $C=(\rm const)$, pak řada $\sum \limits _(n= 1)^ (\infty )C\cdot u_(n) $ je také absolutně konvergentní.

Nemovitost 3

Jsou-li řady $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ a $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ absolutně konvergentní, pak řady $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ jsou také absolutně konvergentní.

Vlastnost 4 (Riemannova věta)

Pokud je řada podmíněně konvergentní, pak bez ohledu na to, jaké číslo A vezmeme, můžeme přeskupit členy této řady tak, aby se její součet přesně rovnal A; Kromě toho je možné přeskupit členy podmíněně konvergentní řady tak, aby se poté rozcházela.

Příklad 1

Prozkoumejte řadu pro podmíněnou a absolutní konvergenci

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

Řešení. Tato řada je alternující, jejíž obecný výraz bude označen: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

Příklad 2

Prozkoumejte řadu $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ pro absolutní a podmíněnou konvergenci.

Prozkoumejme řadu pro absolutní konvergenci. Označme $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ a sestavme řadu absolutních hodnot $a_(n) =\ left|u_(n ) \right|=\frac(\sqrt(n) )(n+1) $. Dostaneme řadu $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ s kladnými členy, na které aplikujeme limitní test pro porovnávání řad. Pro srovnání s řadou $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) ) )(n+1) $ uvažujme řadu, která má tvar $\součet \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\součet \limits _(n=1)^( \infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Tato řada je Dirichletova řada s exponentem $p=\frac(1)(2)
Dále prozkoumáme původní řadu $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ pro podmíněné konvergence. K tomu kontrolujeme splnění podmínek Leibnizova testu. Podmínka 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, kde $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , tj. tato řada se střídá. Pro kontrolu podmínky 2) o monotónním poklesu členů řady použijeme následující metodu. Uvažujme pomocnou funkci $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ definovanou v $x\in )
Také doporučujeme