Абсолютна сходимост на редовете. Абсолютна и условна сходимост на редове Редуващи се редове

с (най-общо казано) сложни членове, за които серията се сближава

За абсолютна конвергенциясерия (1) е необходимо и достатъчно (критерий на Коши за абсолютна конвергенция на серия), че за всеки съществува число, такова че за всички числа и всички цели числа е валидно следното:

Ако редицата е абсолютно сходна, тогава тя се събира. Редете

абсолютно се сближава и ред

се сближава, но не абсолютно. Позволявам

Серия, съставена от същите термини като серия (1), но взети, най-общо казано, в различен ред. От абсолютната сходимост на ред (1) следва абсолютната сходимост на ред (3), а ред (3) има същата сума като ред (1). Ако редовете

абсолютно се събират, тогава: всяка линейна комбинация от тях

също абсолютно се сближава; серия, получена от всички възможни двойки произведения на членове на тези серии, подредени в произволен ред, също е абсолютно сходна и нейната сума е равна на произведението на сумите на тези серии. Изброените свойства на абсолютно сходните редове се пренасят към множество редове

абсолютно се сближава, т.е. всички серии, получени чрез последователно сумиране на членовете на поредица (4) по индекси, се сближават абсолютно, а сумите на множество серии (4) и повторени серии (5) са равни и съвпадат със сумата на всяка отделна серия, образувана от всички членове на серия (4).

Ако членовете на серия (1) са елементи на определено банахово пространство с нормата на елементите, тогава се нарича серия (1). абсолютно сходни, ако редът се събира

В случай на A. s. Р. елементи на банахово пространство, разгледаните по-горе свойства на абсолютно конвергентни числови серии, по-специално на алгебрични системи, са обобщени. Р. елементи от банахово пространство се събира в това пространство. По подобен начин концепцията за A. s. Р. се пренася в множество серии в банахово пространство.

Математическа енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. И. М. Виноградов. 1977-1985 г.

Вижте какво е „АБСОЛЮТНО КОНВЕРГЕНТНА СЕРИЯ“ в други речници:

Функционална серия (1) с (най-общо казано) сложни членове, събиращи се в множеството X и такива, че за всяко e>0 има число ne, че за всички n>ne и всички неравенства, където и С други думи, a последователност от частични... ... Математическа енциклопедия

Съдържание. 1) Определение. 2) Число, определено от серия. 3) Сходимост и дивергенция на редове. 4) Условна и абсолютна конвергенция. 5) Равномерна конвергенция. 6) Разширяване на функциите в серии. 1. Дефиниции. R. е последователност от елементи... ... Енциклопедичен речник F.A. Brockhaus и I.A. Ефрон

Безкрайна сума, последователност от елементи (наречени членове на дадена серия) на определена линейна топология. пространство и определен безкраен набор от техните крайни суми (наречени частични суми на света... ... Математическа енциклопедия

Серия, безкрайна сума, например във формата u1 + u2 + u3 +... + un +... или накратко . (1) Един от най-простите примери за последователност, открит още в елементарната математика, е сумата от безкрайно намаляваща геометрична прогресия 1 + q + q 2 +... + q... ...

I е безкраен сбор, например под формата u1 + u2 + u3 +... + un +... или накратко, Един от най-простите примери за сбор, открит още в елементарната математика, е безкрайно намаляващ сума...... Велика съветска енциклопедия

Последователност от функции, които в незащрихованата област се събират към естествения логаритъм (червено). В този случай това е N-тата частична сума на степенен ред, където N показва броя на членовете. Функционална серия ... Wikipedia

S е множествена серия, израз на формата, съставен от членове на таблица Всеки член на тази таблица е номериран с индекси m, n, . . . , p, които преминават през всички естествени числа независимо едно от друго. Теория на К. р. подобно на теорията на двойните серии. Вижте също… … Математическа енциклопедия

Поредица от косинуси и синуси от множество дъги, т.е. поредица от формата или в сложна форма, където ak, bk или съответно ck се наричат. Коефициенти на Т.р За първи път Т. р. намерени в Л. Ойлер (L. Euler, 1744). Той получи разлагане в сяра. 18-ти век във връзка с... ... Математическа енциклопедия

Сериите, където са функции, които са холоморфни в някаква област, независима от k, тогава се нарича серията (*). близо до Хартогса. Всяка функция, която е холоморфна в област на Хартогс от тип D, може да бъде разложена на абсолютно и равномерно конвергентна функция в DG. Л.р. Изцяло... ... Математическа енциклопедия

Редуваща се серия е специален случай на редуваща се серия.

Определение 2.2.Числова поредица, чиито членове след всяко число имат различни знаци, Наречен променлив знак .

За редуващи се серии важи следното: общ достатъчен тест за конвергенция.

Теорема 2.2.Нека се даде редуваща се серия

Ако ред, съставен от модули на членове на този ред, се сближава

тогава самата редуваща се редица (2.2) се събира.

Трябва да се отбележи, че обратното твърдение не е вярно: ако ред (2.2) се сближава, това не означава, че ред (2.3) ще се сближи.

Определение 2.3. абсолютно конвергентен , ако редица, съставена от модулите на нейните членове, се събира.

Извиква се редуваща се серия условно конвергентен , ако самата тя се събира, но серията, съставена от модулите на нейните членове, се разминава.

Сред редуващите се редове специално място заемат абсолютно конвергентните редове. Такива серии имат редица свойства, които ще формулираме без доказателство.

Произведението на два абсолютно сходни реда със суми е абсолютно сходен ред, чиято сума е равна на .

По този начин абсолютно сходните редове се сумират, изваждат и умножават като обикновените редове. Сумата на такива серии не зависи от реда, в който са написани термините.

В случай на условно сходящи се редове, съответните твърдения (свойства), най-общо казано, не са валидни.

По този начин, чрез пренареждане на членовете на условно конвергентна серия, е възможно да се гарантира, че сумата на серията се променя. Например сериал условно се сближава по критерия на Лайбниц. Нека сумата от тази серия е равна на . Нека пренапишем членовете му така, че след един положителен член да има два отрицателни. Получаваме серия

Сумата е намалена наполовина!

Освен това, чрез пренареждане на членовете на условно конвергентна серия, може да се получи конвергентна серия с предварително определена сума или дивергентна серия (теорема на Риман).

Следователно операциите върху редовете не могат да се извършват, без да се осигури тяхната абсолютна сходимост. За установяване на абсолютна сходимост се използват всички признаци на сходимост на числови серии с положителни членове, като общият член се заменя навсякъде с неговия модул.

Пример 2.1. .

Решение.Оригиналната серия се редува. Нека разгледаме серия, съставена от абсолютни стойности на членовете на дадена серия, т.е. ред . Тъй като , тогава условията на подобна серия не са по-големи от условията на серия Дирихле , за които е известно, че се събират. Следователно, въз основа на критерия за сравнение, тази серия се сближава абсолютно. ,

Пример 2.2.Проверете серията за конвергенция.

Решение.

2) Разгледайте серия, съставена от абсолютни членове. Изследваме го за конвергенция, като използваме теста на d'Alembert

Според критерия на д'Аламбер ред, съставен от абсолютни членове, се събира. Това означава, че оригиналната редуваща се серия се сближава абсолютно. ,

Пример 2.3.Проверете серията за конвергенция .

Решение. 1) Този ред се редува. Ние използваме критерия на Лайбниц. Да проверим дали условията са изпълнени.

Следователно оригиналната серия се сближава.

2) Разгледайте серия, съставена от абсолютни членове. Ние го изследваме за конвергенция, като използваме ограничаващия критерий за сравнение. Помислете за хармонична серия, която се разминава.

Следователно и двете серии се държат идентично, т.е. серия, съставена от абсолютни членове, също се разминава. Това означава, че първоначалната редуваща се серия се сближава условно. ,

Сега ще преминем към изучаването на серии, чиито членове са реални числа от произволен знак.

Определение 1. Ще наречем серията

абсолютно сходни, ако редът се събира

Обърнете внимание, че тази дефиниция не казва нищо за това дали самата серия (1.49) се приема за сходна. Оказва се, че подобно предположение би било ненужно, тъй като следната теорема е вярна.

Теорема 1.9. Сходимостта на редове (1.50) предполага сходимост на редове (1.49).

Доказателство. Нека използваме критерия на Коши за серията (т.е. теорема 1.1). Изисква се да се докаже, че за всяко число съществува такова число, че за всички числа, отговарящи на условието, и за всяко естествено число е вярно следното неравенство:

Поправяме всякакви. Тъй като редът (1.50) се сближава, тогава, съгласно теорема 1.1, има такова число, че за всички числа, отговарящи на условието, и за всяко естествено число е валидно следното неравенство:

Тъй като модулът на сумата от няколко членове не надвишава сумата на техните модули, тогава

Сравнявайки неравенства (1.52) и (1.53), получаваме неравенства (1.51). Теоремата е доказана.

Определение 2. Серията (1.49) се нарича условно сходна, ако тази редица се сближава, докато съответната серия от модули (1.50) се разминава.

Пример за абсолютно сходяща серия е серия.

Този ред се сближава абсолютно, защото когато редът (1.33) се сближава.

Нека дадем пример за условно сходящ се ред. Нека докажем условната сходимост на редицата

Тъй като съответната серия от модули (хармонична серия), както вече знаем, се разминава, тогава за да се докаже условната конвергенция на серията (1.54), е достатъчно да се докаже, че тази серия се сближава. Нека докажем, че ред (1.54) се свежда до числото . В алинея 2 § 9 гл. 6 част 1 получихме разлагането по формулата на Маклорен на функцията

Там за всички x от сегмента се получава следната оценка на остатъчния член.

Редете

Нека се даде серия ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n))И α = lim ¯ n → ∞ ⁡ | a n | n (\displaystyle \alpha =\varlimsup _(n\to \infty )(\sqrt[(n)](|a_(n)|))). Тогава

Твърдението за конвергенцията в тестовете на Коши и д'Аламбер е получено от сравнение с геометрична прогресия (със знаменатели lim ¯ n → ∞ ⁡ | a n + 1 a n | (\displaystyle \varlimsup _(n\to \infty )\left|(\frac (a_(n+1))(a_(n)))\right|)И α (\displaystyle \alpha )съответно), относно разминаването - от факта, че общият член на серията не клони към нула.

Симптом на Коши по-силен знактест на D'Alembert в смисъл, че ако тестът на D'Alembert показва конвергенция, тогава тестът на Коши също показва конвергенция; ако тестът на Коши не позволява да се направи заключение за конвергенция, тогава тестът на Д'Аламбер също не позволява да се направят никакви заключения; Има серии, за които тестът на Коши показва сходимост, но тестът на Д'Аламберт не показва сходимост.

Интегрален тест на Коши-Маклорен

Нека се даде серия ∑ n = 1 ∞ a n , a n ⩾ 0 (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n),a_(n)\geqslant 0)и функция f (x) : R → R (\displaystyle f(x):\mathbb (R) \to \mathbb (R) )така че:

След това сериалът ∑ n = 1 ∞ a n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n))и интегрална ∫ 1 ∞ f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(1)^(\infty )f(x)dx)се сближават или разминават едновременно, и ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ a n ⩾ ∫ k ∞ f (x) d x ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ a n (\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _(n=k)^(\infty )a_(n)\geqslant \int \limits _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))

Симптом на Раабе

Нека се даде серия ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n)), a n > 0 (\displaystyle a_(n)>0)И R n = n (a n a n + 1 − 1) (\displaystyle R_(n)=n\left((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\right)).

Тестът на Raabe се основава на сравнение с обобщената хармонична серия

Действия върху редове

Примери

Помислете за серията 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 + . . . (\displaystyle (\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(2^(2)))+(\frac (1)(3^( 2)))+(\frac (1)(2^(3)))+...). За този ред:

По този начин тестът на Коши показва конвергенция, докато тестът на Д'Аламбер не ни позволява да правим никакви заключения.

Помислете за серията ∑ n = 1 ∞ 2 n − (− 1) n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )2^(n-(-1)^(n)))

По този начин тестът на Коши показва разминаване, докато тестът на Д'Аламбер не ни позволява да направим никакви заключения.

Редете ∑ n = 1 ∞ 1 n α (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n^(\alpha ))))се сближава при α > 1 (\displaystyle \alpha >1)и се разминава при α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1), въпреки това:

По този начин признаците на Коши и Д'Аламбер не ни позволяват да правим никакви заключения.

Редете ∑ n = 1 ∞ (− 1) n n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n)))се сближава условно според критерия на Лайбниц, но не абсолютно, тъй като хармоничната серия ∑ n = 1 ∞ | (− 1) n n | = ∑ n = 1 ∞ 1 n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )\left|(\frac ((-1)^(n))(n))\right|=\sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n)))се разминава.

, е неограничен в левия квартал на точката b (\displaystyle b). Неправилен интеграл от втори род ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)dx)Наречен абсолютно конвергентен, ако интегралът се събира ∫ a b | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)|f(x)|dx).

Пример 2.

Проучете дали редът се събира.

Тъй като

Тогава серията се събира.

Тест за интегрална конвергенция

Интегралният критерий за сходимост се изразява със следната теорема

Теорема 1.8.

Като се има предвид серия с положителни условия

Ако функцията е непрекъсната, положителна и не нараства, а в точки приема стойности, тогава серията(1.23) и неправилен интеграл(1.24) се сближават или разминават едновременно.

Доказателство.

Ако , после къде

;

Ако интеграл (1.24) се сближава и , Че с всякакви естествени следователно

.

Тъй като редицата е монотонно нарастваща и ограничена, то съществува, т.е. ред (1.23) също се събира. Ако серия (1.23) се събира и , тогава за всеки .

От равенството (1.26) следва, че по всяко . Неправилният интеграл също се събира.

С помощта на интегралния тест може да се докаже, че серията

(1.27)

къде е всяко реално число, сходно при и се разминава при .

Наистина, тя се събира при и се разминава при .

Редуващи се редове. Тестът на Лайбниц

Редуващи сеследваща е поредица, която има произволни два члена с числа и имат противоположни знаци, т.е. серия от формата

(1.30)

Доказателство.

Нека разгледаме частичните суми на редица (1.28) с четни и нечетни числа:

Нека трансформираме първата от тези суми:

Поради условие (1.29), разликата във всяка скоба е положителна, така че сумата и за всички. И така, последователността от четни частични суми е монотонно нарастваща и ограничена. Тя има граница, която означаваме с , т.е. . Тъй като , то като вземем предвид предишното равенство и условие (1.30), получаваме

И така, последователността от частични суми на дадена серия с четни и нечетни числа, съответно, имат една и съща граница. От това следва, че последователността от всички частични суми на серия има граница; тези. серията се събира.

Пример.

Проучете дали една серия се събира

(1.31)

Тази серия се редува. Тя се сближава, защото удовлетворява условията на теоремата

Оценката за остатъка от редуваща се серия се определя с помощта на следната теорема.

Теорема 1.10.

Сумата от остатъка от редуваща се серия, която отговаря на условията на теоремата на Лайбниц, има знака на първия оставащ член и не го надвишава по абсолютна стойност.

Доказателство.

Нека разгледаме остатъка от ред (1.28) след членовете. Нека неговата сума, -i частична сума, тогава

Тъй като условията на теорема 1.9 са изпълнени, тогава пред всички, т.е. , където

или

По подобен начин е доказано, че сумата от остатъка от серията след членовете удовлетворява условията , т.е. И .

Следователно, независимо дали е четно или нечетно

Помислете за серия, съставена от модули на членове на тази серия:

(1.34)

Теорема 1.11.

Ако редът(1.34) се събира, тогава редът се събира(1.33).

Доказателство.

Тъй като редът (1.34) се сближава, тогава по силата на критерия на Коши (теорема 1.1) за всяко съществува такова число , тогава за всички и всяко цяло число неравенството е валидно

.

Че . Това означава, че ред (1.33) също се събира.

Коментирайте.

Сходимостта на редове (1.33) не означава сходимост на редове (1.34). Например сериал се сближава (вижте раздел 1.6), а серията от модули на неговите членове се разминава (хармонична серия, вижте раздел 1.2).

абсолютно конвергентен,ако поредица от модули на неговите членове се сближава. Например сериал

е абсолютно конвергентен, тъй като редът от модули на неговите членове се сближава, т.е. ред (геометрична прогресия със знаменател , ).

Извиква се редуваща се серия неабсолютно конвергентен (условно конвергентен),ако тя се сближава, но серията от модули на нейните членове се разминава. Например, серията не е абсолютно сходяща (вижте забележката).

Действия върху редове.

Продукт от серията

Теорема 1.12.

Ако редът(1.35) се сближава, тогава серията(1.36) също се сближава, и

(1.37)

Доказателство.

Нека означим с u - e частичните суми на редове (1.35) и (1.36), т.е.

Очевидно, . Ако ред (1.35) се събира и сумата му е равна на , т.е. , , Че

В допълнение към серията (1.35), разгледайте серията

също се сближава абсолютно и сумата му е равна на

Коментирайте.

Правилата за работа с серии не винаги съвпадат с правилата за работа с крайни суми. По-специално, в крайните суми можете произволно да промените реда на членовете, да групирате членовете, както искате, и сумата няма да се промени. Членовете на крайната сума могат да се добавят в обратен ред; това не е възможно за серия, защото тя няма последен член.

Не винаги е възможно да групирате членове в поредица. Например сериал

е различно, защото

и няма ограничение за частичните му суми. След групиране на членовете

получаваме конвергентен ред, чиято сума е нула. С различно групиране на членове

получаваме сходяща серия, чиято сума е равна на единица.

Представяме две теореми без доказателство.

Теорема 1.14.

Пренареждането на членовете на абсолютно конвергентен ред не нарушава неговата сходимост; сумата на реда остава същата.

Теорема 1.15.

Ако една редица не се сближава абсолютно, тогава чрез правилно пренареждане на нейните членове винаги е възможно да се даде произволна стойност на сумата на серията и дори да се направи серията разминаваща се.