Абсолютна и условна сходимост на редове. Абсолютна сходимост на редове Абсолютна сходимост на редове

Редете

Нека се даде серия ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n))И α = lim ¯ n → ∞ ⁡ | a n | n (\displaystyle \alpha =\varlimsup _(n\to \infty )(\sqrt[(n)](|a_(n)|))). Тогава

Твърдението за конвергенцията в тестовете на Коши и д'Аламбер е получено от сравнение с геометрична прогресия (със знаменатели lim ¯ n → ∞ ⁡ | a n + 1 a n | (\displaystyle \varlimsup _(n\to \infty )\left|(\frac (a_(n+1))(a_(n)))\right|)И α (\displaystyle \alpha )съответно), относно разминаването - от факта, че общият член на серията не клони към нула.

Симптом на Коши по-силен знактест на D'Alembert в смисъл, че ако тестът на D'Alembert показва конвергенция, тогава тестът на Коши също показва конвергенция; ако тестът на Коши не позволява да се направи заключение за конвергенция, тогава тестът на Д'Аламбер също не позволява да се направят никакви заключения; Има серии, за които тестът на Коши показва сходимост, но тестът на Д'Аламберт не показва сходимост.

Интегрален тест на Коши-Маклорен

Нека се даде серия ∑ n = 1 ∞ a n , a n ⩾ 0 (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n),a_(n)\geqslant 0)и функция f (x) : R → R (\displaystyle f(x):\mathbb (R) \to \mathbb (R) )така че:

След това сериала ∑ n = 1 ∞ a n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n))и интегрална ∫ 1 ∞ f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(1)^(\infty )f(x)dx)се сближават или разминават едновременно, и ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ a n ⩾ ∫ k ∞ f (x) d x ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ a n (\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _(n=k)^(\infty )a_(n)\geqslant \int \limits _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))

Симптом на Раабе

Нека се даде серия ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n)), a n > 0 (\displaystyle a_(n)>0)И R n = n (a n a n + 1 − 1) (\displaystyle R_(n)=n\left((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\right)).

Тестът на Raabe се основава на сравнение с обобщената хармонична серия

Действия върху редове

Примери

Помислете за серията 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 + . . . (\displaystyle (\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(2^(2)))+(\frac (1)(3^( 2)))+(\frac (1)(2^(3)))+...). За този ред:

По този начин тестът на Коши показва конвергенция, докато тестът на Д'Аламбер не ни позволява да направим никакви заключения.

Помислете за серията ∑ n = 1 ∞ 2 n − (− 1) n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )2^(n-(-1)^(n)))

По този начин тестът на Коши показва разминаване, докато тестът на Д'Аламбер не ни позволява да направим никакви заключения.

Редете ∑ n = 1 ∞ 1 n α (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n^(\alpha ))))се сближава при α > 1 (\displaystyle \alpha >1)и се разминава при α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1), въпреки това:

По този начин признаците на Коши и Д'Аламбер не ни позволяват да правим никакви заключения.

Редете ∑ n = 1 ∞ (− 1) n n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n)))се сближава условно според критерия на Лайбниц, но не абсолютно, тъй като хармоничната серия ∑ n = 1 ∞ | (− 1) n n | = ∑ n = 1 ∞ 1 n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )\left|(\frac ((-1)^(n))(n))\right|=\sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n)))се разминава.

, е неограничен в левия квартал на точката b (\displaystyle b). Неправилен интеграл от втори род ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)dx)Наречен абсолютно конвергентен, ако интегралът се събира ∫ a b | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)|f(x)|dx).

Пример 2.

Проучете дали редът се събира.

Тъй като

Тогава серията се събира.

Тест за интегрална конвергенция

Интегралният критерий за сходимост се изразява със следната теорема

Теорема 1.8.

Като се има предвид серия с положителни условия

Ако функцията е непрекъсната, положителна и не нараства, а в точки приема стойности, тогава серията(1.23) и неправилен интеграл(1.24) се сближават или разминават едновременно.

Доказателство.

Ако , тогава откъде

;

Ако интеграл (1.24) се сближава и , Че с всякакви естествени следователно

Тъй като редицата е монотонно нарастваща и ограничена, то съществува, т.е. ред (1.23) също се събира. Ако серия (1.23) се сближава и , тогава за всяко .

От равенството (1.26) следва, че по всяко . Неправилният интеграл също се събира.

С помощта на интегралния тест може да се докаже, че серията

(1.27)

където е всяко реално число, сходно при и разминаващо се при .

Наистина, тя се събира при и се разминава при .

Редуващи се редове. Тестът на Лайбниц

Редуващи сеследваща е поредица, която има всеки два члена с числа и имат противоположни знаци, т.е. серия от формата

(1.30)

Доказателство.

Нека разгледаме частичните суми на редица (1.28) с четни и нечетни числа:

Нека трансформираме първата от тези суми:

Поради условие (1.29) разликата във всяка скоба е положителна, така че сумата и за всички. И така, последователността от четни частични суми е монотонно нарастваща и ограничена. Има граница, която означаваме с , т.е. . Тъй като , то като вземем предвид предишното равенство и условие (1.30), получаваме

И така, последователността от частични суми на дадена серия с четни и нечетни числа, съответно, имат една и съща граница. От това следва, че последователността от всички частични суми на серия има граница; тези. серията се събира.

Пример.

Проучете дали една серия се събира

(1.31)

Тази серия се редува. Тя се сближава, защото удовлетворява условията на теоремата

Оценката за остатъка от редуваща се серия се определя с помощта на следната теорема.

Теорема 1.10.

Сумата от остатъка от редуваща се серия, която отговаря на условията на теоремата на Лайбниц, има знака на първия оставащ член и не го надвишава по абсолютна стойност.

Доказателство.

Нека разгледаме остатъка от ред (1.28) след членовете. Нека неговата сума, -i частична сума, тогава

Тъй като условията на теорема 1.9 са изпълнени, тогава пред всички, т.е. , където

или

По подобен начин е доказано, че сумата от остатъка от серията след членовете удовлетворява условията , т.е. И .

Следователно, независимо дали е четно или нечетно

Помислете за серия, съставена от модули на членове на тази серия:

(1.34)

Теорема 1.11.

Ако редът(1.34) се събира, тогава редът се събира(1.33).

Доказателство.

Тъй като редът (1.34) се сближава, тогава по силата на критерия на Коши (теорема 1.1) за всяко съществува такова число , тогава за всички и всяко цяло число неравенството е валидно

Че . Това означава, че ред (1.33) също се събира.

Коментирайте.

Сходимостта на редове (1.33) не предполага сходимост на редове (1.34). Например сериал се сближава (вижте раздел 1.6), а серията от модули на неговите членове се разминава (хармонична серия, вижте раздел 1.2).

абсолютно конвергентен,ако поредица от модули на неговите членове се сближава. Например сериал

е абсолютно конвергентен, тъй като редът от модули на неговите членове се сближава, т.е. ред (геометрична прогресия със знаменател , ).

Извиква се редуваща се серия неабсолютно конвергентен (условно конвергентен),ако тя се сближава, но серията от модули на нейните членове се разминава. Например, серията не е абсолютно сходяща (вижте забележката).

Действия върху редове.

Продукт от серията

Теорема 1.12.

Ако редът(1.35) се сближава, тогава серията(1.36) също се сближава, и

(1.37)

Доказателство.

Нека означим с u - e частичните суми на редове (1.35) и (1.36), т.е.

Очевидно, . Ако ред (1.35) се събира и сумата му е равна на , т.е. , , Че

В допълнение към серията (1.35), разгледайте серията

също се сближава абсолютно и сумата му е равна на

Коментирайте.

Правилата за работа с серии не винаги съвпадат с правилата за работа с крайни суми. По-специално, в крайните суми можете произволно да промените реда на членовете, да групирате членовете, както искате, и сумата няма да се промени. Членовете на крайната сума могат да се добавят в обратен ред; това не е възможно за серия, защото тя няма последен член.

Не винаги е възможно да групирате членове в поредица. Например сериал

е различно, защото

и няма ограничение за частичните му суми. След групиране на членовете

получаваме конвергентен ред, чиято сума е нула. С различно групиране на членове

получаваме сходяща серия, чиято сума е равна на единица.

Представяме две теореми без доказателство.

Теорема 1.14.

Пренареждането на членовете на абсолютно конвергентен ред не нарушава неговата сходимост; сумата на реда остава същата.

Теорема 1.15.

Ако една редица не се сближава абсолютно, тогава чрез правилно пренареждане на нейните членове винаги е възможно да се даде произволна стойност на сумата на серията и дори да се направи серията разминаваща се.

Сега ще преминем към изучаването на серии, чиито членове са реални числа от произволен знак.

Определение 1. Ще наречем серията

абсолютно сходни, ако редът се събира

Обърнете внимание, че тази дефиниция не казва нищо за това дали самата серия (1.49) се приема за сходна. Оказва се, че подобно предположение би било ненужно, тъй като следната теорема е вярна.

Теорема 1.9. Сходимостта на редове (1.50) предполага сходимост на редове (1.49).

Доказателство. Нека използваме критерия на Коши за серията (т.е. теорема 1.1). Изисква се да се докаже, че за всяко число съществува такова число, че за всички числа, отговарящи на условието, и за всяко естествено число е вярно следното неравенство:

Поправяме всякакви. Тъй като редът (1.50) се сближава, тогава по силата на теорема 1.1 има такова число, че за всички числа, отговарящи на условието, и за всяко естествено число е валидно следното неравенство:

Тъй като модулът на сумата от няколко членове не надвишава сумата на техните модули, тогава

Сравнявайки неравенства (1.52) и (1.53), получаваме неравенства (1.51). Теоремата е доказана.

Определение 2. Серията (1.49) се нарича условно сходяща се, ако тази редица се сближава, докато съответната серия от модули (1.50) се разминава.

Пример за абсолютно сходяща серия е серия.

Този ред се сближава абсолютно, защото когато редът (1.33) се сближава.

Нека дадем пример за условно сходящ се ред. Нека докажем условната сходимост на редицата

Тъй като съответната серия от модули (хармонична серия), както вече знаем, се разминава, тогава за да се докаже условната конвергенция на серията (1.54), е достатъчно да се докаже, че тази серия се сближава. Нека докажем, че ред (1.54) се свежда до числото . В алинея 2 § 9 гл. 6 част 1 получихме разлагането по формулата на Маклорен на функцията

Там за всички x от сегмента се получава следната оценка на остатъчния член.

Редуващи се редове са редове, чиито членове са редуващи се положителни и отрицателни. . Най-често се разглеждат редуващи се серии, в които термините се редуват един след друг: всеки положителен е последван от отрицателен, всеки отрицателен е последван от положителен. Но има редуващи се редове, в които членовете се редуват по двама, трима и т.н.

Помислете за пример за редуваща се серия, чието начало изглежда така:

3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...

и веднага Общи правилазаписи на редуващи се редове.

Както при всяка поредица, за да продължите дадена поредица, трябва да укажете функция, която определя общия член на поредицата. В нашия случай е така н + 2 .

Как да настроите редуването на знаците на членовете на серия? Умножение на функция по минус едно до известна степен. В каква степен? Нека веднага подчертаем, че не всяка степен осигурява редуването на знаците за условията на серията.

Да кажем, че искаме първият член от редуващата се серия да има положителен знак, както е в примера по-горе. Тогава минус едно трябва да е на степен н− 1 . Започнете да замествате числа, започващи от едно, в този израз и ще получите като показател за минус едно, четно или нечетно число. Това е, което е необходимо условиередуващи се знаци! Получаваме същия резултат, когато н+ 1 . Ако искаме първият член на редуващите се редове да е с отрицателен знак, тогава можем да дефинираме този ред, като умножим функцията на общия член по едно на степен н. Получаваме четно число, нечетно число и т.н. Както виждаме, вече описаното условие за редуване на знаци е изпълнено.

По този начин можем да напишем горните редуващи се серии в общ вид:

За да се редуват знаците на член на серията, степента минус едно може да бъде сумата ни всяко положително или отрицателно, четно или нечетно число. Същото важи и за 3 н , 5н, ... Тоест редуването на знаците на членовете на редуващата се серия осигурява степента при минус едно под формата на сума н, умножено по всяко нечетно число и произволно число.

Кои степени при минус едно не осигуряват редуването на знаците на членовете на серията? Тези, които присъстват във формата н, умножено по всяко четно число, към което е добавено произволно число, включително нула, четно или нечетно. Примери за показатели за такива степени: 2 н , 2н + 1 , 2н − 1 , 2н + 3 , 4н+ 3 ... В случай на такива степени, в зависимост от това към какво число се добавя "en", умножено по четно число, се получават или само четни, или само нечетни числа, което, както вече разбрахме, не дайте редуване на знаци на условията на поредицата.

Редуващи се серии - специален случай редуващи се серии . Редуващи се серии са серии с членове от произволни знаци , тоест тези, които могат да бъдат положителни и отрицателни в произволен ред. Пример за редуваща се серия:

3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...

След това разглеждаме признаците на конвергенция на редуващи се и редуващи се серии. Условната конвергенция на редуващи се серии от знаци може да се установи с помощта на теста на Лайбниц. А за по-широк диапазон от редове - редуващи се редове (включително редуващи се редове) - се прилага критерият за абсолютна конвергенция.

Сближаване на редуващи се серии от знаци. Тестът на Лайбниц

За серии от редуващи се знаци е в сила следният критерий за конвергенция - критерият на Лайбниц.

Теорема (тест на Лайбниц).Редът се събира и сумата му не надвишава първия член, ако следните две условия са изпълнени едновременно:

абсолютните стойности на условията на променливите серии намаляват: u1 > u 2 > u 3 > ... > u n>...;
лимит на общия му срок с неограничено увеличение нравно на нула.

Последица. Ако вземем сумата от редуващите се серии като сума от нейните нтермини, тогава разрешената грешка няма да надвишава абсолютната стойност на първия изхвърлен член.

Пример 1.Изследвайте сходимостта на редицата

Решение. Това е редуваща се серия. Абсолютните стойности на неговите членове намаляват:

и границата на общия срок

равно на нула:

И двете условия на теста на Лайбниц са изпълнени, така че серията се сближава.

Пример 2.Изследвайте сходимостта на редицата

Решение. Това е редуваща се серия. Първо доказваме, че:

, .

Ако н= 1, тогава за всички н > нважи неравенство 12 н − 7 > н. От своя страна за всички н. Следователно, т.е. членовете на серията намаляват по абсолютна стойност. Нека намерим границата на общия член на серията (използвайки Правилото на L'Hopital):

Границата на общия член е нула. И двете условия на теста на Лайбниц са изпълнени, така че отговорът на въпроса за конвергенцията е положителен.

Пример 3.Изследвайте сходимостта на редицата

Решение. Като се има предвид редуваща се серия. Нека разберем дали е изпълнено първото условие на критерия на Лайбниц, тоест изискването. За да бъде изпълнено изискването е необходимо

Погрижили сме се изискването да е изпълнено за всички н > 0 . Първият критерий на Лайбниц е удовлетворен. Нека намерим границата на общия термин на серията:

Границата не е нула. По този начин второто условие на критерия на Лайбниц не е изпълнено, така че конвергенцията е изключена.

Пример 4.Изследвайте сходимостта на редицата

Решение. В тази поредица два отрицателни термина са последвани от два положителни. Тази серия също се редува. Нека разберем дали е изпълнено първото условие от теста на Лайбниц.

Изискването е изпълнено за всички н > 1 . Първият критерий на Лайбниц е удовлетворен. Нека разберем дали границата на общия член е равна на нула (прилагайки правилото на L'Hopital):

Имаме нула. Така и двете условия на критерия на Лайбниц са изпълнени. Конвергенцията се осъществява.

Пример 5.Изследвайте сходимостта на редицата

Решение. Това е редуваща се серия. Нека разберем дали е изпълнено първото условие от теста на Лайбниц. защото

защото н ≥ 0 , след това 3 н+ 2 > 0. От своя страна за всички н, Ето защо . Следователно членовете на реда намаляват по абсолютна стойност. Първият критерий на Лайбниц е удовлетворен. Нека разберем дали границата на общия член на реда е равна на нула (прилагайки правилото на L'Hopital):

Получихме нулева стойност. И двете условия на теста на Лайбниц са изпълнени, така че тази серия се сближава.

Пример 6.Изследвайте сходимостта на редицата

Решение. Нека разберем дали първото условие на теста на Лайбниц е изпълнено за тази редуваща се серия:

Членовете на реда намаляват по абсолютна стойност. Първият критерий на Лайбниц е удовлетворен. Нека разберем дали границата на общия член е равна на нула:

Границата на общия термин не е нула. Второто условие на критерия на Лайбниц не е изпълнено. Следователно тази серия се разминава.

Тестът на Лайбниц е знак условна конвергенция на редицата. Това означава, че изводите за конвергенцията и дивергенцията на редуващите се редове, разгледани по-горе, могат да бъдат допълнени: тези редове се сближават (или се разминават) условно.

Абсолютна сходимост на редуващи се редове

Нека редът

– редуващ се знак. Нека разгледаме серия, съставена от абсолютните стойности на нейните членове:

Определение. Казва се, че серия е абсолютно конвергентна, ако се сближава серия, съставена от абсолютните стойности на нейните членове. Ако редуваща се серия се сближава и серия, съставена от абсолютните стойности на нейните членове, се разминава, тогава такава редуваща се серия се нарича условно или неабсолютно конвергентни .

Теорема.Ако една редица се сближава абсолютно, тогава тя се сближава условно.

Пример 7.Определете дали една серия се събира

Решение. Съответстваща на тази поредица до положителните термини е поредицата Това обобщена хармонична серия, в който , следователно серията се разминава. Нека проверим дали са изпълнени условията на теста на Лайбниц.

Нека напишем абсолютните стойности на първите пет термина от серията:

Както виждаме, членовете на реда намаляват по абсолютна стойност. Първият критерий на Лайбниц е удовлетворен. Нека разберем дали границата на общия член е равна на нула:

Получихме нулева стойност. И двете условия на критерия на Лайбниц са изпълнени. Тоест според критерия на Лайбниц има конвергенция. И съответната серия с положителни членове се разминава. Следователно този ред се сближава условно.

Пример 8.Определете дали една серия се събира

абсолютно, условно или се разминава.

Решение. Съответстваща на тази серия до положителните членове е серията. Това е обобщена хармонична серия, в която следователно серията се разминава. Нека проверим дали са изпълнени условията на теста на Лайбниц.

Определение 1

Числовата серия $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, членовете на която имат произволни знаци (+), (?), се нарича редуваща се серия.

Алтернативните серии, обсъдени по-горе, са специален случай на редуващи се серии; Ясно е, че не всяка редуваща се серия е редуваща се. Например серията $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ редуващи се, но не редуващи се серии.

Обърнете внимание, че в една редуваща се серия има безкрайно много членове както със знак (+), така и със знак (-). Ако това не е вярно, например, серията съдържа краен брой отрицателни членове, тогава те могат да бъдат отхвърлени и може да се разглежда серия, съставена само от положителни членове, и обратно.

Определение 2

Ако числовата поредица $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се сближава и сумата й е равна на S, а частичната сума е равна на $S_n$, тогава $r_(n ) =S-S_( n) $ се нарича остатък от серията, а $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\ до \infty ) (S-S_(n ))=S-S=0$, т.е. остатъкът от конвергентния ред клони към 0.

Определение 3

Серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се нарича абсолютно конвергентна, ако серията е съставена от абсолютните стойности на нейните членове $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.

Определение 4

Ако редицата от числа $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се сближава и серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_ (n )\десен| $, съставен от абсолютните стойности на неговите членове, се разминава, тогава първоначалната серия се нарича условно (не абсолютно) конвергентна.

Теорема 1 (достатъчен критерий за сходимост на редуващи се редове)

Редуващ се ред $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се сближава и абсолютно, ако редът, съставен от абсолютните стойности на неговите членове, се сближава $\sum \limits _( n=1)^ (\infty )\left|u_(n) \right| $.

Коментирайте

Теорема 1 предоставя само достатъчно условие за сходимост на редуващи се редове. Обратната теорема не е вярна, т.е. ако променливата серия $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се сближава, тогава не е необходимо серията, съставена от модулите $\sum \limits _(n=1) ^( \infty )\left|u_(n) \right| $ (може да бъде или конвергентен, или дивергентен). Например серията $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ се сближава според критерия на Лайбниц и серията, съставена от абсолютните стойности на неговите членове $\sum \limits _(n=1 )^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (хармонична серия) се разминава.

Имот 1

Ако серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ е абсолютно конвергентна, тогава тя се сближава абсолютно за всяко пермутиране на нейните членове и сумата на серията не зависи от ред на термините. Ако $S"$ е сумата от всички негови положителни членове, а $S""$ е сумата от всички абсолютни стойности на отрицателните членове, тогава сумата от серията $\sum \limits _(n=1) ^(\infty )u_(n) $ е равно на $S=S"-S""$.

Имот 2

Ако серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ е абсолютно сходна и $C=(\rm const)$, тогава серията $\sum \limits _(n= 1)^ (\infty )C\cdot u_(n) $ също е абсолютно конвергентен.

Имот 3

Ако сериите $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ и $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ са абсолютно сходни, тогава сериите $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ също са абсолютно сходни.

Свойство 4 (теорема на Риман)

Ако редицата е условно сходна, тогава без значение какво число А вземем, можем да пренаредим членовете на тази редица, така че нейната сума да се окаже точно равна на А; Освен това е възможно да се пренаредят членовете на условно конвергентен ред, така че след това той да се разминава.

Пример 1

Разгледайте серията за условна и абсолютна конвергенция

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

Решение. Тази серия е редуваща се, общият член на която ще бъде означен с: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

Пример 2

Разгледайте серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ за абсолютна и условна конвергенция.

Нека разгледаме серията за абсолютна конвергенция. Нека обозначим $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ и съставим поредица от абсолютни стойности $a_(n) =\ ляво|u_(n) \right|=\frac(\sqrt(n))(n+1) $. Получаваме серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ с положителни членове, към които прилагаме граничния тест за сравняване на серии. За сравнение със серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n ) )(n+1) $ разгледайте серия, която има формата $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^( \infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Този ред е ред на Дирихле с показател $p=\frac(1)(2)
След това разглеждаме оригиналната серия $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ за условно конвергенция. За целта проверяваме изпълнението на условията на теста на Лайбниц. Условие 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, където $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , т.е. тази серия се редува. За да проверим условие 2) за монотонното намаляване на членовете на реда, използваме следния метод. Разгледайте спомагателната функция $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $ дефинирана в $x\in )
Ние също препоръчваме