Jaké tvary lze vyrobit z listu Mobius. Mobius strip - úžasný objev

Mobiův pás je topologický, tedy souvislý objekt s nejjednodušším jednostranným povrchem s hranicí v běžném euklidovském prostoru (3-rozměrný), kde je možné z jednoho bodu takového povrchu se dostat do kteréhokoli jiného bez křížení. okraje.

Kdo a kdy to otevřel?

Tak složitý objekt jako Möbiův pás byl objeven poněkud neobvyklým způsobem. Nejprve si všimneme, že ji objevili dva matematici, kteří si ve svém bádání zcela nesouviseli, ve stejnou dobu - v roce 1858. Další zajímavostí je, že oba tito vědci byli v různých dobách studenty stejného velkého matematika - Johanna Carla Friedricha Gausse. Takže až do roku 1858 se věřilo, že každý povrch musí mít dvě strany. Johann Benedict Listing a August Ferdinand Möbius však objevili geometrický objekt, který měl pouze jednu stranu a popisují jeho vlastnosti. Pás byl pojmenován po Möbiovi, ale topologové považují Listinga a jeho práci „Preliminary Studies in Topology“ za zakladatele „gumové geometrie“.

Vlastnosti

Möbiův pásek má následující vlastnosti, které se nemění, když je stlačen, podélně rozřezán nebo zmačkan:

2. Spojitost je vyjádřena tím, že jakýkoli bod tohoto geometrického útvaru může být připojen k libovolnému jinému bodu, aniž by překročil hranice Mobiovy plochy.

3. Spojenost neboli dvojrozměrnost spočívá v tom, že při podélném řezání pásky z ní nevypadne několik různých tvarů a zůstane pevná.

4. Postrádá tak důležitou vlastnost, jako je orientace. To znamená, že člověk po této postavě se vrátí na začátek své cesty, ale pouze v zrcadlovém obrazu sebe sama. Nekonečný Mobiův pás tak může vést k věčné cestě.

5. Speciální chromatické číslo ukazující maximální možný počet oblastí na povrchu Mobius, které lze vytvořit tak, aby každá z nich měla společnou hranici se všemi ostatními. Möbiův proužek má chromatické číslo 6, ale papírový prsten má chromatické číslo 5.

Vědecké využití

Existuje tedy hypotéza, podle které je vesmír obrovskou Mobiovou smyčkou. Nepřímo to dokládá Einsteinova teorie relativity, podle níž se i přímo letící loď může vrátit do stejného časoprostorového bodu, ze kterého vyletěla.

Podle fyziků je mnoho optických zákonů založeno na vlastnostech Mobiova proužku. Takže například zrcadlový odraz je zvláštní přenos v čase a člověk před sebou vidí svého zrcadlového dvojníka.

Implementace v praxi

Pás Mobius se již dlouhou dobu používá v různých průmyslových odvětvích. Velký vynálezce Nikola Tesla na počátku století vynalezl odpor Mobius, sestávající ze dvou vodivých ploch stočených do roku 1800, které dokážou odolat toku elektrického proudu bez vytváření elektromagnetického rušení.

Na základě studií povrchu proužku Mobius a jeho vlastností bylo vytvořeno mnoho zařízení a nástrojů. Jeho tvar se opakuje při vytváření pásů dopravních pásů a barvicích pásek v tiskařských zařízeních, brusných pásech pro ostření nástrojů a automatických transferech. To vám umožní výrazně zvýšit jejich životnost, protože opotřebení je rovnoměrnější.

Není tomu tak dávno, co úžasné vlastnosti proužku Mobius umožnily vytvořit pružinu, která na rozdíl od konvenčních pružin, které vystřelují v opačném směru, nemění směr působení. Používá se ve stabilizátoru pohonu volantu, zajišťující návrat volantu do původní polohy.

Kromě toho se pruhový znak Möbius používá v různých značkách a logách. Nejznámější z nich je mezinárodní symbol recyklace. Umísťuje se na obaly zboží, které je buď recyklovatelné, nebo vyrobené z recyklovaných zdrojů.

Zdroj kreativní inspirace

Möbiův pás a jeho vlastnosti vytvořily základ pro práci mnoha umělců, spisovatelů, sochařů a filmařů. Nejznámějším umělcem, který použil pásku a její prvky v dílech jako „Mobius Strip II (Red Ants)“, „Riders“ a „Knots“, je Maurits Cornelis Escher.

Möbiovy pásy, nebo také minimální energetické plochy, jak se jim také říká, se staly zdrojem inspirace pro matematické umělce a sochaře, jako jsou Brent Collins a Max Bill. Nejslavnější památka Mobiova pásu je instalována u vchodu do washingtonského muzea historie a technologie.

Ruští umělci také nezůstali stranou tohoto tématu a vytvořili vlastní díla. Sochy Mobius Strip byly instalovány v Moskvě a Jekatěrinburgu.

Literatura a topologie

Neobvyklé vlastnosti Möbiových povrchů inspirovaly mnoho spisovatelů k vytvoření fantastických a surrealistických děl. Mobiova smyčka hraje důležitou roli v románu R. Zelazného „Dveře v písku“ a slouží jako prostředek pohybu prostorem a časem pro hlavní postavu románu „Nekroskop“ B. Lumleyho.

Objevuje se také v příbězích „The Wall of Darkness“ od Arthura C. Clarka, „On the Mobius Strip“ od M. Cliftona a „The Mobius Strip“ od A. J. Deitche. Na základě posledně jmenovaného natočil režisér Gustavo Mosquera fantastický film „Mobius“.

Děláme to sami, vlastníma rukama!

Pokud vás zajímá Mobius strip, jak si vyrobit jeho model, malý návod vám řekne:

1. K vytvoření jeho modelu budete potřebovat:

List obyčejného papíru;

Nůžky;

Pravítko.

2. Odřízněte proužek z listu papíru tak, aby jeho šířka byla 5-6krát menší než délka.

3. Vzniklý papírový proužek položte na rovnou plochu. Jeden konec přidržíme rukou a druhý otočíme o 1800 tak, aby se proužek zkroutil a špatná strana se stala lícovou stranou.

4. Přilepte konce krouceného proužku k sobě, jak je znázorněno na obrázku.

Pás Mobius je připraven.

5. Vezměte pero nebo fix a začněte kreslit cestu uprostřed pásky. Pokud jste vše udělali správně, vrátíte se do stejného bodu, kde jste začali kreslit čáru.

Abyste získali vizuální potvrzení, že Möbiův pás je jednostranný objekt, zkuste jednu z jeho stran překreslit tužkou nebo perem. Po chvíli uvidíte, že jste to úplně vymalovali Published by econet.ru

Zdroje

Technika - mládež 1984-09, strana 65

Arndt Anastasia

Článek pojednává o historii objevu Möbiova pásu a experimentech, které lze s Möbiovým pásem provádět.

Stažení:

Náhled:

Obecní rozpočtová vzdělávací instituce

"Vesennenskaya střední škola"

Vánoční čtení

Nominace: „Exact Sciences“

Tajemství Mobiova pásu

Arndt Anastasia

Žák 5. třídy

Dozorce:

Arndt Irina

Vasilevna,

Učitel matematiky

S. Jaro

rok 2014

Úvod. …………………………………………………..………..… s. 3

Kapitola I. Historické pozadí. ……………………………………………….. S. 3-4

Kapitola II. Möbiův pás. ………………………………………….....…….S. 4-9

§1. Vytvoření Mobiova pásu. ………………………………........…..S. 4

§2. Experimenty s Möbiovým pásem. ……..………………………........S. 4-6

§3. Aplikace proužku Mobius v životě. …………………………..… str. 7-9

Závěr. ………………………………………..…………………........S. 9

Literatura. ……………………………………………………………..….S. 10

Úvod.

Každý z nás má intuitivní představu o tom, co je „povrch“. Povrch listu papíru, povrch stěn třídy, povrch zeměkoule zná každý. Může být v tak obyčejném pojetí něco nečekaného a dokonce tajemného? Vzorový list Moebius ukazuje, že může. Mnoho lidí ví, co je Möbiův pás (pás). Pro ty, kteří ještě neznají úžasný pracovní list, který patří mezi „matematická překvapení“, zveme vás, abyste s námi prozkoumali a ponořili se do jasného pocitu poznání.

Toto téma mě velmi zaujalo. Rozhodl jsem se prohloubit své znalosti v této oblasti.

Účel mé práce: prozkoumat Mobiův pás jako jeden z objektů topologie.

Cíle: - shromáždit všechny možné informace o proužku Mobius;

Experimentálně prozkoumejte vlastnosti Mobiova proužku;

Ukažte využití Mobiova proužku v životě.

Kapitola I. Historické pozadí.

Tajemný a slavnýMöbiův pás objevili nezávisle němečtí matematici August Ferdinand Möbius a Johann Benedict Listing v roce 1858.

srpna Ferdinand Mobius(1790-1868), narozený ve městě Schulpforte, německý geometr, žák „krále matematiků“ slavného K.F. Gauss. Mobius byl původně astronom. Profesor na univerzitě v Lipsku od roku 1816. Začal provádět nezávislá astronomická pozorování na observatoři v Pleisenburgu v roce 1818. se stal jeho ředitelem. Při práci v tiché samotě učinil Möbius mnoho zajímavých objevů a stal se jedním z největších geometrů 19. století. V 68 letech se mu podařilo objevit úžasnou krásu. Jedná se o objev jednostranných povrchů, z nichž jeden je Möbiův pás To byla nejvýznamnější událost v jeho životě!

Říká se, že Mobiusovi pomohla otevřít jeho „list“ služka, která špatně zašila konce stuhy.

V historii se často vyskytují případy, kdy jeden nápad přijde na mysl několika vynálezců současně. To se stalo s pásem Mobius.

Ve stejném roce 1858 přišla myšlenka pásky k jinému vědci, studentovi K.F. Gauss -Johann Benedict Listing(1808-1882), německý matematik a fyzik, profesor na univerzitě v Göttingenu. Dal jméno vědě, která studuje kontinuitu - topologie.

Topologie studuje vlastnosti geometrických tvarů, které se nemění, pokud jsou ohnuty, nataženy nebo stlačeny. Prvenství v objevu topologického objektu – pásu – získal August Mobius.

Co zasáhlo tyto dva německé profesory? A to, že proužek Mobius má jen jednu stranu.

Kapitola II. Möbiův pás.

§1. Vytvoření Mobiova proužku.

Möbiův proužek lze velmi snadno vyrobit, držet v ruce, stříhat, experimentovat jiným způsobem. Studium Möbiova pásu je dobrým úvodem do prvků topologie.

Möbiův pás je jedním z těch matematických překvapení Chcete-li vyrobit Möbiův pás, vezměte si obdélníkový pásek ABB 1 A 1 otočíme o 180 stupňů a přilepíme protilehlé strany AB a A 1 v 1 , tj. aby se body A a B shodovaly 1 a body A 1 a B.

Získáme kroucený prsten.A ptáme se sami sebe: kolik stran má tento kus papíru? Dva, jako někdo jiný? Ne. Má to JEDNU stranu. nevěříš mi?

§2 Experimenty s Möbiovým pásem.

Pro studium jeho vlastností jsem provedl několik experimentů, které jsem rozdělil do dvou skupin:

Skupina I.

Zkušenost č. 1 . Začal jsem malovat pruh Mobius, aniž bych ho otočil.

Výsledek. Möbiův pás byl kompletně přelakován.

„Pokud se někdo rozhodne natřít pouze jednu stranu povrchu Möbiova proužku, ať to okamžitě celé ponoří do kbelíku s barvou,“ píší Richard Courant a Herbert Robins ve vynikající knize „Co je matematika?“

Zkušenost č. 2.

Představte si, že měňavec cestuje po Mobiově pásu a poté, co projde celou cestu, se vrátí do výchozího bodu. Zároveň obejde obě plochy - vnější i vnitřní, aniž by protínala hrany.To dokazujeMöbiův pás je jednostranný povrch. Vrátil se do výchozího bodu. Ale v jaké podobě! Převrácené!

A aby se mohl vrátit na start v normální poloze, musí udělat další cestu „kolem listů“. Möbiův pruh má pouze jednu stranu!

Skupina II experimenty související s řezáním proužku Mobius.

Provedl jsem sérii experimentů, jejichž výsledky byly zaneseny do tabulky.

Zkušenosti	Popis zážitku	Výsledek
	Uprostřed byl podélně rozříznut jednoduchý prsten.	Dostali jsme dva jednoduché prsteny, stejně dlouhé, dvakrát tak široké.
	Möbiův pás byl přeříznut uprostřed.	Dostali jsme 1 prsten, jehož délka je dvakrát delší, šířka je dvakrát užší, stočený o 1 celou otáčku.
	Odřízněte Möbiův pás, ustoupíte od okraje asi o třetinu jeho šířky.	Získáte dva pruhy, jeden je kratší Möbiův pruh, druhý je delší. páska se dvěma polovičními otáčkami.
	Rozdělte 4 cm širokou stuhu na čtyři stejné části a začněte stříhat ve vzdálenosti 1 cm od okraje.	Získáte dvě stuhy, jednu rovna délce originálu, druhou dlouhou.
	Möbiův proužek o šířce 5 cm odřízněte podélně ve vzdálenosti 1 cm od okraje.	Získáte dva prsteny, které jsou do sebe zapletené: Möbiův proužek 3 cm široký, rovný délce původního a 1 cm široký, dvojnásobek délky původního, stočený o dvě plné otáčky.
	Möbiův proužek slepte k sobě tak, že jej dvakrát otočíte.	Získáme dva Möbiovy pásy, které jsou vzájemně propojeny.

To jsou neočekávané věci, které se stanou jednoduchému proužku papíru, pokud jej slepíte do Möbiova proužku.

§3. Aplikace proužku Mobius v životě.

Při této práci jsem došel k závěru, že ačkoliv byl Möbiův pás objeven již v 19. století, je relevantní jak ve století dvacátém, tak ve století dvacátém.

Úžasné vlastnosti Möbiova pásu byly a jsou využívány v technice, fyzice a optice. Inspiroval kreativitu mnoha spisovatelů a umělců.

Je zvláštní, že proužek Mobius stále vzrušuje mysli vynálezců i nyní. V mnoha zemích světa byly patentovány úžasné mechanismy založené na něm.

Möbiův pás v technologii a fyzice

Na magnetických páskách Mobius spřádaných se objem zaznamenaných informací zdvojnásobí ahraje dvakrát tak dlouho.Byly vytvořeny speciální kazety, které je umožňovaly poslouchat „z obou stran“ bez střídání míst.

Tato páska funguje skvěle pro vázání a přenášení nákladu v přístavech. Dopravníkové pásy pro pohyb horkých materiálů, pokud jsou vyrobeny podle Möbiuse, budou střídavě „odpočívat“ od horkých materiálů. V důsledku toho se chlazení pásu zlepšuje a pás se opotřebovává rovnoměrně, což znamená, že vydrží déle.To poskytuje značné úspory.

Möbiův pás v přírodě i v životě.

Existuje hypotéza, že samotná šroubovice DNA je také fragmentem Mobiova proužku a to je jediný důvod, proč je tak obtížné dešifrovat a vnímat genetický kód. Navíc taková struktura celkem logicky vysvětluje důvod nástupu biologické smrti – spirála se uzavírá sama do sebe a dochází k sebedestrukci.

Möbiův pás v umění.

Tajemný pruh Mobius vždy vzrušoval mysl spisovatelů, umělců a sochařů. Möbiův pás sloužil jako inspirace pro sochy a grafiku. Escher byl jedním z umělců, kteří to obzvláště milovali a věnoval několik svých litografií tomuto matematickému objektu. Jeden slavný ukazuje mravence plazící se po povrchu Möbiova pásu.

Známé jsou také jeho kresby zobrazující Möbiův pás.

Velmi zajímavé jsou památky věnované Möbiově pásu.

Ulice mnoha měst zdobí sochy na motivy Mobiova stripu.

Klenotníci zasvětili svá díla Möbiově pásu.

Möbiův pruh je vyobrazen na různých emblémech a je vyobrazen na odznaku Fakulty mechaniky a matematiky Moskevské univerzity.

Mezinárodním symbolem pro recyklaci je také Möbiův pás.

Kromě toho je po Möbiovi pojmenován kráter na odvrácené straně Měsíce.

Architekti využívají Möbiův pás inovativním způsobem. Tak vypadá například neuvěřitelný projekt nové knihovny v Astaně (Kazachstán).

Závěr.

Möbiův pás má mnoho zajímavých vlastností.

Möbiův pás má jeden okraj.
Möbiův pás má jednu stranu.
Möbiův pás je topologický objekt. Jako každý topologický obrazec nemění Möbiův pás své vlastnosti, dokud není rozřezán, roztrhán nebo jeho jednotlivé kusy slepeny dohromady.
Jedna hrana a jedna strana Mobiova proužku nesouvisí s jeho polohou v prostoru a nesouvisí s pojmy vzdálenosti.

Möbiův pás je prvním objeveným jednostranným povrchem. Později matematici objevili celou řadu jednostranných ploch. V této práci jsem se pokusil popsat vlastnosti krásného povrchu - Mobiova pásu, ukázat jeho význam v praxi a dokázat, že Mobiův pás je topologický obrazec.

Navzdory skutečnosti, že Möbius učinil svůj úžasný objev již dávno, je i dnes velmi populární:

Matematici procházejí dalším výzkumem;
pro školáky je velmi zajímavé experimentovat s Möbiovým pásem;
v technologii – objevují se nové způsoby využití Möbiova pásu.

Experimenty s Möbiovým pásem jsem ještě nevyčerpal. Jsou nekonečné, zajímavé a závisí na vaší vlastní trpělivosti. Do budoucna plánuji ve výzkumu tohoto nepředvídatelného listu pokračovat.

Literatura.

Voloshinov A.V., „Matematika a umění“ M.: „Osvícení“, 1996.
Příloha novin "Matematika" nakladatelství "První září", č. 14 1999, č. 24 2006.
Gardner M. „Matematické zázraky a záhady“, „Věda“ 1978.
Gusev V.A., Kombarov A.P. "Matematická rozcvička" M.: "Osvícení", 1986.
Zdroje internetových stránek:http://ru.wikipedia.
Kordemsky B. A. Topologické experimenty typu Udělej si sám. Kvant, 1974, č. 3.

Představme si hladinu a na ní sedícího mravence. Podaří se mravenci prolézt na druhou stranu hladiny – obrazně řečeno na její spodní stranu – aniž by přelezl okraj? Samozřejmě že ne!

August Ferdinand Mobius (1790-1868)

První příklad jednostranného povrchu, na který se mravenec může plazit, aniž by přelezl okraj, uvedl Mobius v roce 1858.

Möbiův pás, také nazývaný smyčka, povrch nebo list, je předmětem studia v matematické disciplíně topologie, která studuje obecné vlastnosti obrazců, které jsou zachovány při takových nepřetržitých transformacích, jako je kroucení, natahování, stlačování, ohýbání a další. související s porušením integrity . Úžasnou a jedinečnou vlastností takové pásky je, že má pouze jednu stranu a okraj a nijak nesouvisí s jejím umístěním v prostoru. Mobiův pás je topologický, tedy souvislý objekt s nejjednodušším jednostranným povrchem s hranicí v běžném euklidovském prostoru (3-rozměrný), kdy je možné z jednoho bodu takového povrchu dostat se do kteréhokoli jiného bez křížení. okraje.

August Ferdinand Möbius (1790-1868) – žák „krále“ matematiků Gausse. Möbius byl původně astronom, jako Gauss a mnoho dalších, kterým matematika vděčí za svůj rozvoj. V té době matematika nebyla podporována a astronomie poskytovala dostatek peněz na to, aby o ní nepřemýšleli, a nechávala čas na vlastní myšlenky. A Möbius se stal jedním z největších geometrů 19. století.

Ve věku 68 let objevil Möbius úžasnou krásu. Jedná se o objev jednostranných ploch, jedním z nich je Möbiův pás (neboli pás). Na nápad se stuhou přišel Möbius, když pozoroval služebnou, která měla na krku nesprávně šátek.
V euklidovském prostoru ve skutečnosti existují dva typy napůl otočených Mobiových pásů: jeden otočený ve směru hodinových ručiček a druhý proti směru hodinových ručiček.

Möbiův pásek má následující vlastnosti, které se nemění, když je stlačen, podélně rozřezán nebo zmačkan:

1. Přítomnost jedné strany. A. Mobius ve svém díle „O objemu mnohostěnů“ popsal geometrickou plochu, později pojmenovanou na jeho počest, pouze s jednou stranou. Je to docela jednoduché zkontrolovat: vezměte si Mobiusův proužek nebo proužek a zkuste natřít vnitřek jednou barvou a vnější stranu jinou. Nezáleží na tom, v jakém místě a směru bylo barvení zahájeno, celá postava bude natřena stejnou barvou.
2. Spojitost je vyjádřena tím, že jakýkoli bod tohoto geometrického útvaru může být připojen k libovolnému jinému bodu, aniž by překročil hranice Mobiovy plochy.
3. Spojenost neboli dvojrozměrnost spočívá v tom, že při podélném řezání pásky z ní nevypadne několik různých tvarů a zůstane pevná.

4. Postrádá tak důležitou vlastnost, jako je orientace. To znamená, že člověk sledující tuto postavu se vrátí na začátek své cesty, ale pouze zrcadlově. Nekonečný Mobiův pás tak může vést k věčné cestě.
5. Speciální chromatické číslo ukazující maximální možný počet oblastí na povrchu Mobius, které lze vytvořit tak, aby každá z nich měla společnou hranici se všemi ostatními. Möbiův proužek má chromatické číslo 6, ale papírový prsten má chromatické číslo 5.

Dnes je Mobiův pás a jeho vlastnosti široce využívány ve vědě, slouží jako základ pro konstrukci nových hypotéz a teorií, provádění výzkumu a experimentů a vytváření nových mechanismů a zařízení. Existuje tedy hypotéza, podle které je vesmír obrovskou Mobiovou smyčkou. Nepřímo to dokládá Einsteinova teorie relativity, podle níž se i přímo letící loď může vrátit do stejného časoprostorového bodu, ze kterého vyletěla.

Jiná teorie považuje DNA za součást povrchu Mobius, což vysvětluje obtížnost čtení a dešifrování genetického kódu. Taková struktura mimo jiné poskytuje logické vysvětlení biologické smrti – spirála uzavřená sama na sobě vede k sebedestrukci objektu. Podle fyziků je mnoho optických zákonů založeno na vlastnostech Mobiova proužku. Takže například zrcadlový odraz je zvláštní přenos v čase a člověk před sebou vidí svého zrcadlového dvojníka.

Pokud vás zajímá Mobius strip, jak si vyrobit jeho model, malý návod vám řekne:
1. K vytvoření jeho modelu budete potřebovat: - list obyčejného papíru;
- nůžky;
- pravítko.
2. Odřízněte proužek z listu papíru tak, aby jeho šířka byla 5-6krát menší než délka.
3. Vzniklý papírový proužek položte na rovnou plochu. Jeden konec přidržíme rukou a druhý otočíme o 180* tak, aby se proužek zkroutil a ze špatné strany se stala přední strana.
4. Přilepte konce krouceného proužku k sobě, jak je znázorněno na obrázku.

Pás Mobius je připraven.
5. Vezměte pero nebo fix a začněte kreslit cestu uprostřed pásky. Pokud jste vše udělali správně, vrátíte se do stejného bodu, kde jste začali kreslit čáru.

Abyste získali vizuální potvrzení, že Möbiův pás je jednostranný objekt, zkuste jednu z jeho stran překreslit tužkou nebo perem. Po chvíli uvidíte, že to máte celé natřené.

Möbiův pás sloužil jako inspirace pro sochy a grafiku. Escher byl jedním z umělců, kteří to obzvláště milovali a věnoval několik svých litografií tomuto matematickému objektu. Jedním z těch slavných je Mobius Strip II, který ukazuje mravence lezoucí po povrchu Mobiova pásu.

Möbiův pás je emblémem řady populárně-vědeckých knih ze série „Quantum“ Library. Pravidelně se také objevuje ve sci-fi, jako například v příběhu Arthura C. Clarka „The Wall of Darkness“. Někdy sci-fi příběhy (po teoretických fyzikech) naznačují, že náš vesmír může být nějakým zobecněným Möbiovým pásem. Mobiův prsten je také neustále zmiňován v dílech uralského spisovatele Vladislava Krapivina, cyklu „V hlubinách Velkého krystalu“ (například „Výhrada na kotevním poli. Příběh“). V příběhu „The Mobius Strip“ od A. J. Deitche staví bostonské metro novou linku, jejíž trasa se stává tak nepřehlednou, že se z ní stává Mobiův pás, kvůli kterému na trati mizí vlaky. Na základě příběhu byl natočen sci-fi film „Mobius“ režiséra Gustava Mosquery. Také myšlenka Möbiova pásu je použita v příběhu M. Cliftona „Na Möbiově pásu“.

Mobiův pás se používá jako způsob, jak Harry Keefe, hlavní hrdina románu Briana Lumleyho Nekroskop, cestovat prostorem a časem.

Möbiův pás hraje důležitou roli ve sci-fi románu R. Zelaznyho „Dveře v písku“.

V knize E. Naumova „Half-Life“ (1989) alkoholický intelektuál cestuje po celé zemi a stojí na Mobiově pásu.

Tok románu „Echo“ moderního ruského spisovatele Alexeje Šepeleva je srovnáván s Möbiovým pásem. Z anotace ke knize: „Echo“ je literární obdobou prstenu Mobius: dvě dějové linie – „kluci“ a „dívky“ – se prolínají, vlévají do sebe, ale neprotínají se.

Möbiův pruh se objevuje také v eseji Harukiho Murakamiho „Obladi Possessed“ ze sbírky Radio Murakami z roku 2010, kde je Möbiův pruh obrazně přirovnán k nekonečnu.

V CHARONově vizuálním románu „Makoto Mobius“ se hlavní hrdina Wataro snaží zachránit svého spolužáka před smrtí pomocí magického artefaktu – Mobiova pásu.

V roce 1987 nahrál sovětský jazzový pianista Leonid Chizhik album „Möbius Strip“, které obsahovalo stejnojmennou skladbu.

Závodní dráha v jedné z epizod (sezóna 7, epizoda 14, 11 minut) animovaného seriálu „Futurama“ je Mobius strip.

Existují technické aplikace pro Möbiův pás. Dopravní pás navržený jako Möbiův pás vydrží déle, protože celý povrch pásu se opotřebovává rovnoměrně. Systémy pro kontinuální filmový záznam také používají Möbiovy pásy (pro zdvojnásobení doby záznamu). V mnoha maticových tiskárnách má barvicí páska také podobu Mobiova proužku, aby se zvýšila její zásoba.

Nad vchodem do Ústavu centrální ekonomie a matematiky Ruské akademie věd je také mozaikový vysoký reliéf „Mobius Strip“ od architekta Leonida Pavlova ve spolupráci s umělci E. A. Zharenovou a V. K. Vasiltsovem (1976)

Architektonická řešení využívající nápad Mobius strip:

Šperky ve formě proužku Mobius:

Existují technické aplikace pro Möbiův pás. Pás dopravníkového pásu je vyroben ve formě Möbiova pásu, což umožňuje jeho delší práci, protože se celý povrch pásu rovnoměrně opotřebovává. Systémy pro kontinuální filmový záznam také používají Möbiovy pásy (pro zdvojnásobení doby záznamu). V mnoha maticových tiskárnách má barvicí páska také podobu Mobiova proužku, aby se zvýšila její zásoba.

Zařízení zvané Möbiův odpor je nedávno vynalezený elektronický prvek, který nemá žádnou vlastní indukčnost. Möbiovy pásy se používají také v systémech pro záznam na kontinuální film (pro zdvojnásobení doby záznamu v matricových tiskárnách měla barvicí páska také podobu Möbiova pásku pro zvýšení trvanlivosti);

Magický, neskutečný - to jsou všechna přídavná jména, kterými lze popsat proužek Mobius. Jedna z největších záhad naší doby. Možná je to Mobiův pás, který skrývá tajemství interakce všeho, co v našem Vesmíru existuje. Tato postava má záhadné vlastnosti a velmi reálné aplikace.

Möbiův pás je jednou z nejneobvyklejších geometrických postav. Navzdory své neobvyklé povaze je snadné ji vyrobit doma.

Möbiův pás je trojrozměrný neorientovatelný obrazec s jednou hranicí a jednou stranou. Tím je jedinečný a odlišný od všech ostatních předmětů, se kterými se lze v každodenním životě setkat. Möbiův pás se také nazývá Möbiův pás a Möbiův povrch. Odkazuje na topologické objekty, tedy spojité objekty. Takové objekty studuje topologie – věda, která studuje kontinuitu prostředí a prostoru.

Už samotné otevírání pásku vzbuzuje zájem. Ve stejném roce, 1858, jej objevili dva nepříbuzní matematici. Těmito objeviteli byli August Ferdinand Möbius a Johann Benedict Listing.

Stuhy se konvenčně rozlišují způsobem skládání: ve směru a proti směru hodinových ručiček. Říká se jim také pravá a levá. Ale je nemožné rozlišit typ pásky okem.

Vytvoření takové postavy je extrémně jednoduché: musíte si vzít pásku ABCD. Přeložte jej tak, aby se spojily body A a D, B a C, a spojené konce slepte.

Někteří věří, že tento záhadný geometrický obrazec je prototypem obrácené osmičky-nekonečna, ale ve skutečnosti to není pravda. Tento symbol byl zaveden pro použití dlouho předtím, než byl objeven Möbiův pás. Ale určitě existuje podobnost ve významu těchto čísel. Mystici nazývají Mobiův pruh symbolem dvojího vnímání toho jednoho. Proužek Mobius jako by vypovídal o vzájemném pronikání, propojenosti a nekonečnosti všeho v našem světě. Není divu, že se často používá jako emblémy a ochranné známky. Například mezinárodní symbol pro recyklaci vypadá jako proužek Mobius. Mobiův pás může být také jedinečnou ilustrací některých přírodních jevů, například koloběhu vody.

Möbiův pásek má charakteristické vlastnosti, které se nemění, pokud je pás stlačen, zmačkaný nebo podélně rozříznut.

Mezi tyto vlastnosti patří:

Jednostrannost. Pokud vezmete proužek Mobius a začnete malovat v libovolném místě a směru, postupně se celá figurka přebarví celá, bez nutnosti figurku obracet.
Kontinuita. Každý bod tohoto obrázku může být připojen k jinému bodu, aniž by kdy překročil okraje pásky.
Bikonektivita (neboli dvourozměrnost). Páska zůstane neporušená, pokud ji podélně přeříznete. V tomto případě nevzniknou dvě různé postavy.
Nedostatek orientace. Pokud si představíme, že by člověk mohl následovat tuto postavu, pak by se při návratu do výchozího bodu cesty proměnil ve svůj vlastní odraz. Cesta podél listu nekonečna mohla pokračovat donekonečna.

Pokud vezmete nůžky a uděláte na tomto tajemném povrchu trochu magie, budete moci vytvářet další neobvyklé tvary. Pokud ji rozříznete podélně, podél čáry stejně vzdálené od okrajů, získáte zkroucenou „afghánskou stuhu“. Pokud je výsledná páska rozdělena podélně uprostřed, vytvoří se dvě pásky, které se vzájemně prolínají. Pokud položíte několik proužků na sebe a spojíte je do Mobiova proužku, pak pokud takový obrazec rozložíte, získáte opět „afghánský proužek“.

Pokud uříznete pruh Mobius se třemi nebo více polovičními otáčkami, získáte prstence zvané paradromické prsteny.

Pokud slepíte dva proužky Mobius k sobě podél hranic, získáte další úžasnou figurku - láhev Klein, ale nelze ji vyrobit v běžném trojrozměrném prostoru.

Pokud vyhladíte některé okraje proužku Mobius, získáte nemožný Penroseův trojúhelník. Toto je iluze plochého trojúhelníku, když se na to podíváte, vypadá to jako trojrozměrné.

Möbiův pás je nevyčerpatelným zdrojem kreativity spisovatelů, umělců a sochařů. Jeho zmínka se často nachází ve fantasy a mystické literatuře. Jeho vlastnosti byly základem pro uměleckou fikci o původu Vesmíru, struktuře posmrtného života a pohybu v čase a prostoru. O Möbiově pásu se ve svých dílech zmiňovali Arthur Clarke, Vladislav Krapivin, Julio Cortazar, Haruki Murakami a mnoho dalších.

Slavný umělec Escher vytvořil řadu litografií pomocí pásky. V jeho nejslavnějším díle se mravenci plazí po Mobiově pásu.

Vlastnosti proužku Mobius vám umožní ukázat zajímavé triky. Podívejme se na jeden z nejznámějších. Dva Möbiovy proužky vyrobené z dusičnanu draselného jsou zavěšeny a kouzelník se dotkne zapálené cigarety na střední čáře každého z nich. Planoucí plamen prodlouží první stuhu a druhou promění na dvě navzájem spojené. Oblíbená jízda na horské dráze je vyrobena ve tvaru proužku Mobius. Klenotníci často používají tuto geometrickou postavu při vytváření návrhů šperků.

Pásky Mobius jsou široce používány ve vědě a průmyslu. Je zdrojem mnoha vědeckých studií a hypotéz. Existuje například teorie, že DNA je součástí Mobiova proužku. Genetici se již naučili, jak řezat jednovláknovou DNA a vytvořit tak Möbiův proužek. Fyzici říkají, že optické zákony jsou založeny na vlastnostech Mobiova proužku. Například odraz v zrcadle je druh pohybu v čase po podobné trajektorii. Existuje vědecká hypotéza, že vesmír je obří Mobiův pás.

Na počátku 20. století Nikola Tesla vynalezl Möbiův odpor, který odolává toku elektřiny, aniž by způsoboval elektromagnetické rušení. Skládá se ze dvou vodivých povrchů, které jsou stočeny o 180° a tvoří Möbiův pás.

Pás dopravníkového pásu (průběžný dopravní stroj) je vyroben ve tvaru Mobius pásu. Tento povrch umožňuje prodloužit životnost pásky, protože její opotřebení bude probíhat rovnoměrně. Forma Mobius strip se používá také při záznamu na souvislý film.

Proužek Mobius se používal v jehličkových tiskárnách k prodloužení trvanlivosti barvicí pásky.

Brusný kroužek v ostřících mechanismech je vytvořen na bázi Mobius pásu a pracuje automatická převodovka.

V současné době mnoho vynálezců využívá vlastnosti této pásky k provádění experimentů a vytváření nových zařízení.

Mobiův pás nadále vzbuzuje trvalý zájem nejen mezi matematiky a vynálezci, ale i mezi obyčejnými lidmi. Inspiruje umělce k vytváření tajemných děl a fantastických teorií. Experimentování s touto zajímavou postavou je fascinující činností pro dospělé i děti. Jeho vlastnosti našly své uplatnění ve vědě, technice i v běžném životě. Mobiův pás je zábavná matematická hádanka, která skrývá význam idealistického chápání struktury Vesmíru, jeho dopad na naše životy lze studovat donekonečna.

Möbiův pás (Möbiova smyčka, Möbiův pás)- jednoduše vypadající figurka, ale matematik by řekl, že jde o dvourozměrný povrch s úžasnými vlastnostmi: má pouze jednu stranu a jeden okraj, na rozdíl od obyčejného prstenu, který lze svinout ze stejného pruhu jako Möbius pruh, ale bude mít dvě strany a dva okraje. Můžete si to snadno ověřit, když nakreslíte čáru uprostřed pásky, aniž byste zvedli tužku z papíru, dokud se nevrátíte do výchozího bodu. Překvapivě, ale pravdivě: polovičním otočením pásu se jeho horní a spodní okraj spojily v jednu souvislou linii a obě strany se proměnily v jeden celek a staly se jednou stranou. A zde je výsledek: můžete se dostat z jednoho bodu Mobiova pásu do kteréhokoli jiného, aniž byste překročili okraj.

Běh na Mobiově pásu

Pro vnějšího pozorovatele je cesta po Mobiově pásu „během v kruhu“ plným překvapení. Zřetelně ji ztvárnil holandský grafik Maurits Escher (1898-1972). Na obraze „The Mobius Strip II“ pobíhají mravenci. Sledováním jejich pohybu můžete učinit zajímavý objev. Po provedení jedné otáčky podél pásky bude každý mravenec ve výchozím bodě, ale již v poloze protinožce - vizuálně bude „na druhé straně“ pásky vzhůru nohama. Co se stane s dvourozměrným tvorem pohybujícím se po Mobiově pásu? Po projetí povrchu se změní na svůj zrcadlový obraz (to si lze snadno představit, pokud pásku považujete za průhlednou). Aby se stala sama sebou, bude muset dvourozměrná bytost udělat ještě jeden kruh. Takže mravenec potřebuje projít Möbiovým pásem dvakrát, aby se vrátil do své výchozí pozice.

Vědecká zvědavost nebo užitečný objev

Möbiův pás je často nazýván matematickou kuriozitou. A jeho samotný vzhled je připisován náhodě. Podle legendy stuhu vynalezl německý vědec, když uviděl nesprávně uvázaný nákrčník na služebné. Byl to slavný matematik a astronom, žák Carla Friedricha Gausse. Jednostranný povrch s jednou hranou popsal již v roce 1858, ale za jeho života nebyl článek publikován. Ve stejném roce, nezávisle na Mobiovi, učinil podobný objev Johann Listing, další Gaussův žák.

Páska byla stále pojmenována po Möbiovi. Stal se jedním z prvních objektů topologie - vědy, která studuje nejobecnější vlastnosti obrazců, a to ty, které jsou zachovány při souvislých (bez řezů nebo lepení) transformací: natahování, mačkání, ohýbání, kroucení atd. Tyto transformace připomínají o deformacích tvarů vyrobených z pryže, proto se topologii jinak říká „gumová geometrie“. Některé topologické problémy vyřešil Leonhard Euler již v 18. století. Počátek nového oboru matematiky byl položen Listingovým dílem „Preliminary Studies in Topology“ (1847), prvním systematickým dílem o této vědě. On také vytvořil termín „topologie“ (z řeckých slov τόπος - místo a λόγος - výuka).

Möbiův pás by se dal považovat za vědeckou kuriozitu, další výstřelek matematiků, kdyby nenašel praktické uplatnění a neinspiroval umělce. Umělci ji zobrazovali nejednou, sochaři jí stavěli pomníky a spisovatelé jí věnovali své výtvory. Tento neobvyklý povrch upoutal pozornost architektů, designérů, šperkařů a dokonce i výrobců oděvů a nábytku. Vynálezci, designéři a inženýři tomu věnovali pozornost (např. ještě ve 20. letech 20. století byly patentovány zvukové a filmové pásky v podobě Möbiova pásku, což umožnilo zdvojnásobit délku záznamu). Kouzelníci se ale tímto proužkem zabývají častěji než jiní: přitahují je neobvyklé vlastnosti, které se objevují při jeho rozříznutí. Pokud tedy Möbiův proužek rozříznete podél střední čáry, nerozpadne se na dvě části, jak byste mohli očekávat . Udělá užší a delší oboustrannou pásku, dvakrát stočenou (design jízdy na horské dráze má podobný tvar). Zde je „kulinářská vychytávka“: dorty ve tvaru Mobiova proužku se vám budou zdát chutnější než ty běžné, protože na ně můžete namazat dvakrát tolik krému! Kromě toho jsou zde zajímavé architektonické návrhy budov vytvořené „ve stylu Möbiova pásu“. Zatím existují pouze na papíře, ale chci věřit, že budou určitě realizovány.

„Nejednoznačná“ pozice

Svými vlastnostmi Möbiův proužek skutečně připomíná předmět z Through the Looking Glass. A ona sama, jelikož je asymetrickou postavou, má zrcadlového dvojníka. Pošleme otisk pravé nohy na procházku podél pásky a brzy zjistíme, že se otisk levé nohy vrátí domů. Je to legrační, že? A kdy se z „pravice“ stala „levice“? Pojďme „namontovat“ dvojrozměrné hodiny na pásku a přinutit je, aby podél nich udělaly plnou otáčku. Při pohledu na hodiny uvidíme, že ručičky na číselníku se pohybují stejnou rychlostí, ale v opačném směru! A který ze dvou směrů pohybu je správný?

Zatímco přemýšlíte nad odpovědí, podotýkám, že matematik by nabídl elegantní východisko i z této „nejednoznačné“ situace. Je nutné, aby za prvé hodinky ukazovaly vždy stejný čas a za druhé, aby ručičky na ciferníku byly v poloze, která by byla zachována v zrcadlovém odrazu, například stály svisle a svíraly obrácený úhel.

No, zkontrolujeme odpověď? Ve skutečnosti je nemožné nastavit konkrétní směr otáčení na Möbiově pásu. Stejný pohyb lze vnímat jak otáčení ve směru hodinových ručiček, tak i otáčení v opačném směru. Když ho náhodně vybraný bod na Möbiově pásu obíhá, jeden směr se plynule mění na druhý. Zároveň je „vpravo“ nenápadně nahrazeno „vlevo“. Dvourozměrná bytost sama na sobě nezaznamená žádné změny. Ale uvidí je další podobná stvoření a samozřejmě i my, kteří sledujeme dění z jiné dimenze. To je takový nepředvídatelný, jednostranný Möbiův povrch.