Дисперсия на експоненциалното разпределение. Експоненциален закон за разпределение

Нека отбележим тук основните понятия и формули, свързани с експоненциалното разпределение на непрекъсната случайна променлива $X$, без да навлизаме в подробности за тяхното извеждане.

Определение 1

Експоненциално или експоненциално разпределение на непрекъсната случайна променлива $X$ е разпределение, чиято плътност има формата:

Снимка 1.

Графиката на експоненциалната плътност на разпределението изглежда така (фиг. 1):

Фигура 2. Диаграма на плътността на експоненциалното разпределение.

Експоненциална функция на разпределение

Както може лесно да се провери, функцията на експоненциалното разпределение има формата:

Фигура 3.

където $\gamma $ е положителна константа.

Графиката на функцията на експоненциалното разпределение изглежда така:

Фигура 4. График на функцията на експоненциалното разпределение.

Вероятност за попадение на случайна променлива с експоненциално разпределение

Вероятността непрекъсната случайна променлива да попадне в интервала $(\alpha,\beta)$ с експоненциално разпределение се изчислява по следната формула:

Математическо очакване: $M\left(X\right)=\frac(1)(\gamma ).$

Дисперсия: $D\left(X\right)=\frac(1)((\gamma )^2).$

Стандартно отклонение: $\sigma \left(X\right)=\frac(1)(\gamma )$.

Пример за проблем с експоненциално разпределение

Пример 1

Случайната променлива $X$ се подчинява на експоненциален закон за разпределение. В частта от домейна на дефиницията $\left \

Определение 2. хТо има експоненциалензакон на разпределение с параметър, ако неговата плътност на вероятността има формата:

Функцията на разпределение на случайна променлива, разпределена по експоненциалния закон, е равна на

Наистина ли,

Кривата на разпределение и графиката на функцията на разпределение са показани по-долу:

За случайна променлива, разпределена по експоненциалния закон

Наистина ли,

Вероятност за попадане в интервала на непрекъсната случайна променлива х, разпределен по експоненциалния закон, се намира по формулата

Бележка 1.Експоненциалният закон за разпределение на вероятностите се намира в много проблеми, включващи най-простия поток от събития. Под поток от събитияразбират последователността от събития, случващи се едно след друго в произволни моменти. Например потокът от повиквания на телефонна централа, потокът от заявки в система за опашка и др.

Често времето за работа на даден елемент има експоненциално разпределение, чиято разпределителна функция

определя вероятност за провалелемент за определен период от време T. Тук T– продължителност на безотказната работа на елемента, λ – честота на отказите (среден брой откази за единица време).

Функция за надеждност

определя вероятността за безотказно функциониране на даден елемент за определен период от време T.

Пример 2.Установено е, че времето за ремонт на магнетофони е случайна величина х, разпределени по експоненциалния закон. Дефинирайте вероятността, чече ремонтът на магнетофон ще отнеме поне 15 дни, ако средното време за ремонт на магнетофони е 12 дни. Намерете плътността на вероятността, функцията на разпределение и стандартното отклонение на случайна променлива х.

Решение.Съгласно условието математическото очакване = 12, откъдето параметърът и след това плътността на вероятността и функцията на разпределение имат формата: , (). Желаната вероятност може да се намери с помощта на функцията на разпределение:

Стандартно отклонение на дните.

Пример 3.Тествайте три елемента, които работят независимо един от друг. Продължителността на безотказната работа на елементите се разпределя по експоненциалния закон:

за първия елемент;

за второто;

за третия елемент.

Намерете вероятностите в интервала от време (0;5) часа да излезе от строя: а) само един елемент; б) само два елемента; в) и трите елемента.

Решение.Вероятност за отказ на първия елемент

Вероятност за повреда на втория елемент

Вероятност за повреда на третия елемент

Необходима вероятност

3. Нормално разпределение.В теорията на вероятностите и математическата статистика най-важна роля играе така нареченото нормално или гаусово разпределение. Също така се използва широко при решаване на приложни проблеми. Значението на нормалното разпределение се определя от факта, че то служи като добро приближение за голям брой набори от случайни променливи, получени от наблюдения и експерименти. Нормално разпределение почти винаги възниква, когато наблюдаваните случайни променливи са повлияни от голям брой случайни фактори, нито един от които не превъзхожда значително другите.

Определение 3.Непрекъсната случайна променлива хТо има нормален закон на разпределение (закон на Гаус)с параметри Аи σ, ако неговата плътност на вероятността има формата:

Кривата на нормалното разпределение се нарича нормалноили Гаусова крива.

Графиката на функцията на нормалната плътност е камбанообразна крива, вземаща най-високата стойност в точката и бързо намаляваща при .

Нека докажем това. Наистина ли

Използвайки неправилни двойни интеграли, можем да докажем това

Този интеграл се нарича интеграл на Поасон. Замествайки този резултат в последния израз, получаваме .

Трудността при директно намиране на функцията на разпределение на случайна променлива, разпределена по нормалния закон, и вероятността тя да попадне в определен интервал се дължи на факта, че интегралът на функция (15) не се взема в елементарни функции. Следователно тя се изразява чрез функцията на Лаплас (интеграл на вероятността), за която са съставени таблици.

Нека намерим функцията на разпределение на случайната променлива х, разпределени по нормалния закон:

Тъй като (интегрантът е четен).

По този начин,

За случайна променлива, разпределена според нормалния закон,

Нека да разберем как ще се промени нормалната крива, когато параметрите се променят аи σ. Ако параметърът се промени ае центърът на симетрия на разпределението, тогава нормалната крива ще се измести по абсцисната ос, без да променя формата си.

Ако параметърът се промени - разпространението на стойностите на случайната променлива от центъра на симетрия на разпределението - тогава той намалява с увеличаване, но тъй като площта под която и да е крива на разпределение трябва да остане равна на 1, тогава кривата става по-плоска, разтягайки се по оста вол.Докато намалява, тя се увеличава и нормалната крива се разтяга нагоре, като същевременно се компресира отстрани.

В съответствие със свойството на функцията на разпределение, вероятността за постигане на стойностите на нормална случайна променлива хв интервала се определя по формулата

4. Вероятност за дадено отклонение за нормално разпределение.Вероятността, че отклонението на случайна променлива х, разпределени по нормалния закон, от математическото очакване Аняма да надвишава стойността (по абсолютна стойност), равна на

« Правило на трите сигми: Ако една случайна променлива X има нормален закон на разпределение с параметри a и , т.е. , тогава е почти сигурно, че стойностите му лежат в интервала:

Отклонение в абсолютната стойност на нормално разпределен SV хповече от с , е почти невъзможно събитие, т.к вероятността му е много ниска:

защото кривата на Гаус е симетрична по отношение на математическото очакване, тогава коефициентът на асиметрия на нормалното разпределение е . Ексцес на нормално разпределение д=0 и стръмността на други разпределения се определя спрямо нормалното.

Бележка 2.Случайна променлива, която има нормално разпределение с параметри и се нарича стандартна (нормализирана) нормална случайна променлива, а нейното разпределение се нарича стандартно (нормализирано) нормално разпределение.

Функцията на плътността и стандартното нормално разпределение се дават по формулите:

Пример 4.Определете закона за разпределение на случайна променлива х, ако неговата плътност на разпределение на вероятностите е дадена от функцията:

Намерете математическото очакване, дисперсията и функцията на разпределение на случайна променлива х.

Решение.Сравнявайки тази функция с функцията за плътност на вероятността за случайна променлива, разпределена според нормалния закон, заключаваме, че случайната променлива хразпределени по нормалния закон с параметри А= 1 и .и следователно, .

Пример 7.Височината на възрастните мъже е случайна величина, разпределена по нормален закон. Нека математическото му очакване е 175 см, а стандартното отклонение 6 см. Определете вероятността поне един от петима произволно избрани мъже да има ръст от 170 до 180 см.

Решение.Нека намерим вероятността ръстът на мъж да принадлежи към интервала (180;170):

Тогава вероятността ръстът на мъжа да не принадлежи към интервала (170; 180): . Вероятността поне един от 5 мъже да има ръст от 170 до 180 см е равна на: .

Както бе споменато по-рано, примери за вероятностни разпределения непрекъсната случайна променлива X са:

• равномерно вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива;
• експоненциално вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива;
• нормална дистрибуция вероятности на непрекъсната случайна променлива.

Нека дадем концепцията за равномерни и експоненциални закони за разпределение, вероятностни формули и числени характеристики на разглежданите функции.

Индекс	Закон за равномерно разпределение	Експоненциален закон за разпределение
Определение	Нарича се униформен вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива X, чиято плътност остава постоянна на сегмента и има формата	Експоненциален (експоненциален) се нарича вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива X, която се описва от плътност, имаща формата
		където λ е постоянна положителна стойност
Разпределителна функция
Вероятност попадащи в интервала
Очаквана стойност
дисперсия
Стандартно отклонение

Примери за решаване на задачи по темата „Равномерни и експоненциални закони за разпределение“

Задача 1.

Автобусите се движат строго по разписание. Интервал на движение 7 мин. Намерете: а) вероятността пътник, пристигащ на спирка, да чака по-малко от две минути за следващия автобус; б) вероятността пътник, пристигащ на спирка, да чака най-малко три минути за следващия автобус; в) математическо очакване и стандартно отклонение на случайната величина X - време на чакане на пътника.

Решение. 1. Съгласно условията на проблема, непрекъсната случайна променлива X = (време на изчакване на пътника) равномерно разпределен между пристигането на два автобуса. Дължината на интервала на разпределение на случайната величина X е равна на b-a=7, където a=0, b=7.

2. Времето за изчакване ще бъде по-малко от две минути, ако случайната променлива X попада в интервала (5;7). Намираме вероятността да попаднем в даден интервал, използвайки формулата: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Времето за изчакване ще бъде най-малко три минути (т.е. от три до седем минути), ако случайната променлива X попада в интервала (0;4). Намираме вероятността да попаднем в даден интервал, използвайки формулата: P(x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P(0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Математическото очакване на непрекъсната, равномерно разпределена случайна променлива X – времето за изчакване на пътника – ще бъде намерено по формулата: M(X)=(a+b)/2. M(X) = (0+7)/2 = 7/2 = 3,5.

5. Стандартното отклонение на непрекъсната, равномерно разпределена случайна променлива X – времето за изчакване на пътника – ще бъде намерено по формулата: σ(X)=√D=(b-a)/2√3. σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02.

Задача 2.

Експоненциалното разпределение е дадено за x ≥ 0 чрез плътността f(x) = 5e – 5x. Изисква се: а) запишете израз за функцията на разпределение; б) намерете вероятността в резултат на теста X да попадне в интервала (1;4); в) намерете вероятността в резултат на теста X ≥ 2; г) изчислете M(X), D(X), σ(X).

Решение. 1. Тъй като условието е дадено експоненциално разпределение , то от формулата за плътността на разпределение на вероятностите на случайната променлива X получаваме λ = 5. Тогава функцията на разпределение ще има формата:

2. Вероятността в резултат на теста X да попадне в интервала (1;4) ще се намери по формулата:
P(a< X < b) = e −λa − e −λb .
P(1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Вероятността в резултат на теста X ≥ 2 да бъде намерена по формулата: P(a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
P(X≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Намерете експоненциалното разпределение:

• математическо очакване по формулата M(X) = 1/λ = 1/5 = 0,2;
• дисперсия по формулата D(X) = 1/ λ 2 = 1/25 = 0,04;
• стандартно отклонение по формулата σ(X) = 1/λ = 1/5 = 1,2.

Експоненциален закон за разпределениенаричан още основен закон за надеждността, често се използва за прогнозиране на надеждността по време на нормална работа на продуктите, когато постепенни неуспехивсе още не са се появили и надеждността се характеризира внезапни неуспехи.Тези неуспехи са причинени от неблагоприятна комбинация от много обстоятелства и следователно имат постоянен характер интензивност.Експоненциалното разпределение се използва доста широко в теорията на масовото обслужване; то описва разпределението на времето между отказите на сложни продукти и времето за безотказна работа на елементите на електронното оборудване.

Нека дадем примери за неблагоприятна комбинация от работни условия за машинни части, които причиняват внезапната им повреда. За зъбно колело това може да е ефектът от максималното натоварване върху най-слабия зъб при зацепването му; за елементи на електронно оборудване - превишаване на допустимите токови или температурни условия.

Плътността на разпределение на експоненциалния закон (фиг. 1) се описва със съотношението

f(х) = λ д −λ х; (3)

разпределителната функция на този закон е отношението

Е(х) = 1− д −λ х; (4)

функция за надеждност

П(х) = 1− Е(х) = д −λ х; (5)

математическо очакване на случайна променлива х

дисперсия на случайна променлива х

(7)

Експоненциалният закон в теорията на надеждността намери широко приложение, тъй като е лесен за практическа употреба. Почти всички проблеми, решени в теорията на надеждността, се оказват много по-прости при използване на експоненциалния закон, отколкото при използване на други закони за разпределение. Основната причина за това опростяване е, че при експоненциален закон вероятността за безотказна работа зависи само от продължителността на интервала и не зависи от времето на предишната работа.

Фиг. 1. Графика на плътността на експоненциалното разпределение

Пример 2.Въз основа на експлоатационните данни на генератора е установено, че времето между отказите се подчинява на експоненциален закон с параметър λ=2*10 -5 h -1 . Намерете вероятността за безпроблемна работа във времето T=100 часа Определете математическото очакване на времето между отказите.

Решение , За да определим вероятността за безаварийна работа, използваме формула (5), според която

Математическото очакване на времето между отказите е

Експоненциалното разпределение е разпределение на непрекъсната случайна променлива X, което се описва от следната диференциална функция

Експоненциалното разпределение за непрекъснати случайни променливи е аналог на разпределението на Поасон за дискретни случайни променливи и има следния вид.

вероятност случайната променлива X да попадне в интервала (α;β)

Трябва да се отбележи, че времето за безотказна работа се удовлетворява именно от експоненциалния закон и затова тази концепция често се използва в концепцията за надеждност.

Закон за нормалното разпределение (закон на Гаус)

Разпределението на случайна променлива X се нарича нормално, ако функцията на плътността на разпределението

Полученият израз не може да бъде изразен чрез елементарни функции, като такава най-често се използва такава функция, така нареченият вероятностен интеграл, за който са съставени таблици

Често, според условията на задачата, е необходимо да се определи вероятността случайна величина X да попадне в област, симетрична на математическото очакване.

Правилото на трите сигми често се използва за потвърждаване или отхвърляне на хипотезата за нормално разпределение на случайна променлива.

Мат. статистика

Примерно количество:

.

Примерна средна стойност:

.

Примерно отклонение:

, Където t i- честота.

Селективно стандартно отклонение:

.

Емпирична функция на разпределение:

F * (x)=P(X

F*(x)= .

Точкови оценки:

Безпристрастна оценка на общата средна стойност ( математически очаквания):

, x i– опция за вземане на проби, m i– честотни опции x i, - размер на извадката.

Пристрастна оценка обща дисперсия – дисперсия на извадката:

, защото

.

Безпристрастна оценка обща дисперсия служи като „коригирана дисперсия“:

. При n<30.

Коефициентът на вариация:

.

Централен момент Да се-та поръчка:

.

Начален момент Да се-та поръчка:

.

Асиметрия: , t 3 =

Излишък: , Където t 4 =

Групово средно: .

Обща средна стойност: , Където .

Общо отклонение: .

Интервални оценки:

Доверителен интервал за математически очаквания Анормално разпределено количество атрибут х :

.

Тест за съответствие на Pearson:

Ако броят на наблюденията е много голям, тогава законът за разпространение на SV не зависи от това на какъв закон се подчинява генералната съвкупност. Подхожда към разпространението с Да сестепени на свобода, а самият критерий се нарича Тест за съответствие на Pearson:

, Където Да се– брой интервали на групираната серия, t i >0.05n .

Брой степени на свобода: r=k-p-1, Където Да се– брой интервали, Р– брой параметри на закона.

Ниво на значимост α:

α=0,05 и α=0,01.

Ако , Че H 0 приет, т.е. приетият закон на разпределение съответства на емпирични данни. В същото време грешим в 5 от 100 случая, приемайки евентуално погрешна хипотеза (грешка тип 2).

Ако , Че H 0 отхвърлени, т.е. предполагаемият закон не отговаря на емпиричните данни. В същото време грешим в 1 случай от 100, отхвърляйки правилната хипотеза (грешка от тип 1).

Ако , тогава имаме несигурностмогат да се използват и други критерии.

Корелация

- сума от честотите в аз-та колона;

- сума от честотите в Да се-ти ред;

- брой двойки (x i; y k).

Условно средно: .

Теоретични уравнения на регресионни линии:

.

Изчисляване на числови характеристики:

Индикатор за близостта на корелационната връзка е емпиричното съотношение на корелация:

, Където .

.

Имоти:

1. 0≤η≤1.

2. ако η =1, тогава y(x) е функционална връзка.

3. η =0, тогава няма връзка.

4. η≥ .

5. ако η = , тогава има точна линейна корелационна зависимост.

6. колкото по-близо η до 0, толкова по-слаба е корелацията; колкото по-близо до 1, толкова по-силна е корелацията и в границите тя се превръща във функционална зависимост.

Коефициент на корелация:

.

Проверка на значимостта на корелационните параметри:

1. Проверка на значимостта на линейна корелация (регресионна значимост).

При големи размери на извадката коефициентът на корелация се подчинява на нормалния закон. При което .

2. Тестване на значимостта на регресията:

.

Ако τ r>2,58, тогава можем да кажем с 99% увереност, че корелационната зависимост е значима (регресията е значима). Тези. корелацията съществува не само в извадката, но и в цялата популация.

τ r<1,96, то с уверенностью 95% можно утверждать, что корреляционная зависимость не явл. существенной, т.е. она характерна только для данной выборки и может не существовать в генеральной совокупности.

1,96<τ r< 2,58 – несущественная корреляционная зависимость.

3. Проверка на линейността на избрания модел (проверка за адекватност):

.

Р=99% (а=0,01): t=2,58

Р=95% (а=0,05): t=1,96

Ако стойността η у/худовлетворява това неравенство, то избраният модел е адекватен, отговаря на емпирични данни.

Критерий на Фишер:

, П– брой наблюдения, Да се– брой интервали по X.

На нива на значимост:

α=0.05 и α=0.01: F 0.05 (k-1; n-1); F 0,01 (k-1; n-k).

Ако Fy/x

Тестване на регресионната значимост:

, съгласно табл F 0,01 (1; n-2), F 0,05 (1; n-2).

Ако F R > F 0,01, тогава регресията е значителна, ако F R

Адекватност на модела по Фишер:

.

F 0,01 (k-2;n-k), F 0,05 (k-2;n-k).

Ако F A > F 0,01, тогава моделът е неадекватен, ако F A

Критерий на Романовски:

, Където r– брой стъпки на свобода. Ако ρ<3 , то несъответствието между теоретичното и емпиричното разпределение трябва да се счита за незначително.

Критерий за последователност на Калмагоров:

- най-голямата абсолютна разлика между натрупаните честоти на емпиричното и теоретичното разпределение.

Да се– брой интервали.

Използвайки таблицата, намираме съответната стойност на вероятността P(λ). Ако P(λ)<0,05, то расхождение между распределениями существенно, оно не может быть вызвано случайными причинами. Чем ближе эта вероятность к 1, тем лучше теоретическое распределение согласовывается с эмпирическим.

Ние също препоръчваме

• Закон за привличането и как работи
• Причини за появата на бактерии в урината по време на бременност – въздействие върху плода и лечение
• Поздравления за Свети Валентин Кой е обичайно да поздравява за Свети Валентин
• Саксофонист за събитие
• Защо бебето кашля по време на сън или след хранене?
• Как да си направим бухал от шишарки