Автоматична линия произвежда батерии. Учим се да решаваме задачи по теория на вероятностите на Единния държавен изпит по математика. Вероятността е 0,01

Подготовка за единен държавен изпит по математика. Полезни материали и видео анализ на задачи по теория на вероятностите.

Полезни материали

Видео анализ на задачите

Отзад кръгла маса 3 момчета и 2 момичета са настанени произволно на 5 стола. Намерете вероятността двете момичета да седнат едно до друго.

Във Вълшебната страна има два вида време: добро и отлично, като времето, веднъж установено сутрин, остава непроменено през целия ден. Известно е, че с вероятност от 0,7 времето утре ще бъде същото като днес. Днес е 28 март, времето в Magic Land е хубаво. Намерете вероятността времето да е страхотно в Страната на приказките на 1 април.

В първенството по скокове във вода участват 50 състезатели, сред които 8 скачачи от Русия и 10 скачачи от Мексико. Редът на изпълненията се определя чрез жребий. Намерете вероятността скачач от Русия да се състезава петнадесети.

Картината показва лабиринт. Паякът пълзи в лабиринта на точката "Вход". Паякът не може да се обърне и да пълзи обратно, така че на всяко разклонение паякът избира една от пътеките, по които все още не е пълзял. Ако приемем, че изборът на по-нататъшния път е чисто случаен, определете с каква вероятност паякът ще стигне до изход D.

Автоматична линия произвежда батерии. Вероятността завършената батерия да е дефектна е 0,02. Преди опаковането всяка батерия преминава през контролна система. Вероятността системата да отхвърли дефектна батерия е 0,99. Вероятността системата по погрешка да отхвърли работеща батерия е 0,01. Намерете вероятността произволно избрана произведена батерия да бъде отхвърлена от системата за проверка.

Вероятността батерията да е дефектна е 0,06. Купувач в магазин избира случаен пакет, съдържащ две от тези батерии. Намерете вероятността и двете батерии да са добри.

Избор на проблеми

Миша имаше четири бонбона в джоба си - "Гриляж", "Белочка", "Коровка" и "Лястовица", както и ключовете от апартамента. Докато вадеше ключовете, Миша случайно изпусна един бонбон от джоба си. Намерете вероятността бонбоните "Grillage" да са били изгубени.
В надпреварата на гюле участват 4 състезатели от Финландия, 7 състезатели от Дания, 9 състезатели от Швеция и 5 от Норвегия. Редът, в който се състезават атлетите, се определя чрез жребий. Намерете вероятността спортистът, който се състезава последен, да е от Швеция.
Преди началото на първия кръг от първенството по бадминтон, участниците се разделят на случаен принцип по двойки с жребий. Общо в първенството участват 26 бадминтонисти, включително 10 участници от Русия, сред които Руслан Орлов. Намерете вероятността в първия кръг Руслан Орлов да играе с някой бадминтонист от Русия?
В световното първенство участват 16 отбора. Използвайки жребий, те трябва да бъдат разделени на четири групи от по четири отбора всяка. В кутията има смесени карти с номера на групи: $$1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.$$ Капитаните на отборите изтеглят една всяка карта. Каква е вероятността руският отбор да попадне във втора група?
Научната конференция се провежда в рамките на 5 дни. Предвидени са общо 75 доклада - първите три дни съдържат 17 доклада, останалите са разпределени по равно между четвъртия и петия ден. Редът на докладите се определя чрез жребий. Каква е вероятността докладът на проф. Максимов да бъде насрочен за последния ден на конференцията?
Средно от 1000 продадени градински помпи 5 текат. Намерете вероятността една произволно избрана за контрол помпа да не изтече.
Фабриката произвежда чанти. Средно на всеки 100 качествени торбички има осем торбички със скрити дефекти. Намерете вероятността закупената чанта да бъде с високо качество. Закръглете резултата до стотни.
Механичен часовник с дванадесетчасов циферблат по някое време се повреди и спря да работи. Намерете вероятността часовата стрелка да замръзне, достигайки позицията 10 часа, но не достигайки позицията 1 часа.
При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността първия път да падне глави, а втория път да падне опашки.
При произволен експеримент симетрична монета се хвърля два пъти. Намерете вероятността главите да се появят точно веднъж.
При произволен експеримент симетрична монета се хвърля три пъти. Намерете вероятността да получите поне две глави.
При произволен експеримент се хвърлят два зара. Намерете вероятността сборът да бъде 8 точки. Закръглете резултата до стотни.
На рок фестивала участват групи - по една от всяка от обявените държави. Редът на изпълнение се определя чрез жребий. Каква е вероятността група от Дания да се представи след група от Швеция и след група от Норвегия? Закръглете резултата до стотни.
В класа има 26 души, сред които двама близнаци – Андрей и Сергей. Класът е разделен на случаен принцип на две групи от по 13 души всяка. Намерете вероятността Андрей и Сергей да бъдат в една и съща група.
В класа има 21 души. Сред тях са две приятелки: Аня и Нина. Класът е разделен на случаен принцип в 7 групи, по 3 души във всяка. Намерете вероятността за това. че Аня и Нина ще бъдат в една група.
Стрелецът стреля по мишената веднъж. Ако пропусне, стрелецът стреля втори изстрел по същата цел. Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,7. Намерете вероятността целта да бъде улучена (или от първия, или от втория изстрел).
Ако гросмайстор Антонов играе с белите, тогава той печели срещу гросмайстор Борисов с вероятност 0.52. Ако Антонов играе черни, тогава Антонов печели срещу Борисов с вероятност 0,3. Гросмайсторите Антонов и Борисов играят две партии, като във втората игра сменят цвета на фигурите. Намерете вероятността Антонов да спечели и двата пъти.
В магазина има трима продавачи. Всеки от тях е зает с клиент с вероятност 0,3. Намерете вероятността в произволен момент и тримата продавачи да са заети по едно и също време (да приемем, че клиентите идват независимо един от друг).
Вероятността нов DVD плейър да бъде ремонтиран в гаранция в рамките на една година е 0,045. В даден град от 1000 продадени DVD плейъра през годината 51 броя са получени от гаранционния сервиз. Колко се различава честотата на събитието „гаранционен ремонт“ от вероятността му в този град?
При производство на лагери с диаметър 67 мм, вероятността диаметърът да се различава от зададения с не повече от 0,01 мм е 0,965. Намерете вероятността произволен лагер да има диаметър по-малък от 66,99 mm или по-голям от 67,01 mm.
Каква е вероятността произволно избрано естествено число от 10 до 19 да се дели на три?
Преди началото на футболен мач реферът хвърля монета, за да определи кой отбор ще започне с топката. Отборът на Физик играе три мача с различни отбори. Намерете вероятността в тези игри "Физик" да спечели жребия точно два пъти.
Преди началото на волейболния мач капитаните на отбори теглят честно жребий, за да определят кой отбор ще започне играта с топката. Отборът "Статор" се редува да играе с отборите "Ротор", "Мотор" и "Стартер". Намерете вероятността Stator да започне само първата и последната игра.
В магазина има два разплащателни апарата. Всяка от тях може да бъде дефектна с вероятност 0,05, независимо от другата машина. Намерете вероятността поне една машина да работи.
Въз основа на отзивите на клиентите Иван Иванович оцени надеждността на два онлайн магазина. Вероятността желаният продукт да бъде доставен от магазин А е 0,8. Вероятността този продукт да бъде доставен от магазин B е 0,9. Иван Иванович поръча стоки и от двата магазина едновременно. Ако приемем, че онлайн магазините работят независимо един от друг, намерете вероятността никой магазин да не достави продукта.
Биатлонист стреля по мишени пет пъти. Вероятността за попадение в целта с един изстрел е 0,8. Намерете вероятността биатлонистът да уцели мишените първите три пъти и да пропусне последните два. Закръглете резултата до стотни
Стаята се осветява от фенер с две лампи. Вероятността една лампа да изгори в рамките на една година е 0,3. Намерете вероятността поне една лампа да не изгори през годината.
На изпита по геометрия студентът получава един въпрос от списъка с изпитни въпроси. Вероятността това да е въпрос с вписан кръг е 0,2. Вероятността това да е въпрос на тема "Успоредник" е 0,15. Няма въпроси, които да се отнасят едновременно към тези две теми. Намерете вероятността студентът да получи въпрос по една от тези две теми на изпита.
Ежедневно има автобусен транспорт от областния център до селото. Вероятността да има по-малко от 20 пътника в автобуса в понеделник е 0,94. Вероятността да има по-малко от 15 пътника е 0,56. Намерете вероятността броят на пътниците да бъде между 15 и 19.
Вероятността нова електрическа кана да издържи повече от година е 0,97. Вероятността да продължи повече от две години е 0,89. Намерете вероятността то да продължи по-малко от две години, но повече от една година.
Вероятността ученикът О. да реши правилно повече от 11 задачи на тест по биология е 0,67. Вероятността О. да реши правилно повече от 10 задачи е 0,74. Намерете вероятността О. да реши точно 11 задачи правилно.
За да премине към следващия кръг на състезанието, футболният отбор трябва да спечели поне 4 точки в два мача. При победа отборът получава 3 точки, при равенство 1 точка, а при загуба 0 точки. Намерете вероятността отборът да премине към следващия кръг на състезанието. Помислете, че във всяка игра вероятностите за победа и загуба са еднакви и равни на 0,4.
Във Вълшебната страна има два вида време: добро и отлично, като времето, веднъж установено сутрин, остава непроменено през целия ден. Известно е, че с вероятност 0,8 времето утре ще бъде същото като днес. Днес е 3 юли, времето във Вълшебната страна е хубаво. Намерете вероятността времето да е страхотно в Страната на приказките на 6 юли.
Туристическата група е 5 човека. Използвайки жребий, те избират двама души, които трябва да отидат до селото, за да купят храна. Артьом иска да отиде до магазина, но се подчинява на жребия. Каква е вероятността Артем да отиде до магазина?
За да влезе в института за специалността "Лингвистика", кандидатът трябва да получи най-малко 70 точки на Единния държавен изпит по всеки от трите предмета - математика, руски език и чужд език. За да се запишете в специалността "Търговия", трябва да спечелите поне 70 точки по всеки от трите предмета - математика, руски език и обществознание. Вероятността Петров да получи поне 70 точки по математика е 0,6, по руски - 0,8, в чужд език-- 0,7 и по обществени науки -- 0,5. Намерете вероятността Петров да успее да запише поне една от посочените две специалности
При артилерийски огън автоматичната система произвежда изстрел по целта. Ако целта не е унищожена, системата изстрелва втори изстрел. Изстрелите се повтарят, докато целта бъде унищожена. Вероятността за унищожаване на определена цел с първия изстрел е 0,4, а с всеки следващ изстрел е 0,6. Колко изстрела ще са необходими, за да се гарантира, че вероятността за унищожаване на целта е поне 0,98?

Наскоро ме помолиха да помогна с решаването на две задачи по теория на вероятностите от Единния държавен изпит по математика. Опитах се да открия причините за затруднението и стигнах до извода, че трудностите възникват поради липсата на учебници, макар че е трудно да се повярва, и поради незапознаването със самия предмет на теорията на вероятностите. Както и да е, все още трябва да се научите как да решавате проблеми в теорията на вероятностите, като използвате конкретни проблеми. Освен това в Единния държавен изпит най-вероятно има само този тип задачи. Мисля, че няма трудности при разбирането на такива понятия като събитие, вероятност, сума от вероятности за независими събития. Но е трудно да се отделят събития, да се определят хипотези и да се сортира всичко на парчета. Но си струва да хвърлите добър, замислен поглед веднъж или два пъти готово решениеконкретна задача, като става ясно, че по същество задачите са доста прости и отчасти шаблонни, а най-важното са интересни и жизненоважни. Тогава може да искате да решите повече такива задачи, за да спечелите повече точки на изпита, но за съжаление най-вероятно ще има само 2 от тях и само в раздел B.

Е, да се заемем със задачите.

Задача 1. От областния център до селото ежедневно пътува автобус. Вероятността в автобуса да има по-малко от двадесет пътника е 0,94. Вероятността да има по-малко от петнадесет пътници е 0,56. Намерете вероятността броят на пътниците в автобуса да бъде от петнадесет до деветнадесет души.

Нека помислим случайна величина x – брой пътници в автобуса. Тогава условията на задачата ще бъдат записани като P(x≤19)=0,94, P(x≤14)=0,56. И желаната вероятност ще бъде P(14

Отговор: 0,38.

Защо, чуди се, пиша P(x≤19), а не P(x<20) = 0,94. Дело в том, что есть понятие функции распределения F(a)=P(x≤a) и имеется известная формула P(a

Затова просто ще обясним решението на този тип проблеми, използвайки елементарни концепции. И така, нека събитие А е, че по-малко от 20 души са решили да вземат автобуса, т.е. P(A) = 0,94. Събитие B – в автобуса има по-малко от 15 пътника и следователно P(B) = 0,56. Събитие C – в автобуса има от 15 до 19 пътници и трябва да изчислите вероятността за това събитие P(C). Но събития B и C заедно (трябва да се каже, обединение на събития) съставляват събитие A и те не се пресичат, т.е. събития B и C не могат да се появят заедно. Следователно имаме P(A)=P(B)+P(C), от което P(C) = P(A) - P(B) = 0,94 - 0,56 = 0,38.

Задача 2. Автоматична линия произвежда батерии. Вероятността завършената батерия да е дефектна е 0,03. Преди опаковането всяка батерия преминава през контролна система. Вероятността системата да отхвърли дефектна батерия е 0,95. Вероятността системата по погрешка да отхвърли работеща батерия е 0,04. Намерете вероятността произволно избрана произведена батерия да бъде отхвърлена от системата.

Нека обозначим събитията:

A – избраната батерия е дефектна.

B – избраната батерия работи.

C – системата за управление отхвърли батерията.

Събития A и B представляват пълна система, т.е. при избора на батерия непременно ще се случи едно от събитията A или B, а след контрола ще се случи събитие C. Това събитие може да се случи на фона на събитие A или събитие B, или с други думи, при прилагане на хипотезата изпълнението на събитие A или друга хипотеза, която е, че избраната батерия е била добра (събитие B).

Прилагайки формулата за обща вероятност, получаваме желаната вероятност за събитие C:

Р(С) = Р(А)Р(С/А) + Р(В)Р(С/В) = 0,03×0,95 + 0,97×0,04 = 0,0673

Тук вероятността за събитие B се изчислява като P(B) = 1 – P(A) = 1 – 0,03 = 0,97.

Отговор: 0,0673.

Искам да предложа друга линия на разсъждение, която според мен може да помогне за решаването на този проблем за онези ученици или учители, които не могат да прочетат учебника поради липсата му или да разберат формулата на пълната вероятност.

Можете да си представите, че има 100 произведени батерии, от които 3 не работят, а 97 работят. И така всички тези батерии бяха изпратени за контрол. Ясно е, че система от три дефектни батерии ще отхвърли 3 × 0,95 = 2,85 броя. За да не се шокираме от дробния брой на бройките, разглеждаме не 100 батерии, а 100 пъти повече, т.е. 1000, от които 300 неизправни и 9700 изправни. От 300 неизправни системата ще отхвърли 285 и от 9700 изправни 388 ще бъдат отхвърлени, а системата няма да пропусне 285 + 388 = 673 от 10 000. И от тук лесно можем да получим същия отговор чрез делене 673 на 10 000.

По принцип е достатъчно да овладеете тези два вида задачи, за да добавите така необходимите предимства за успешното полагане на този „УЖАСЕН“ Единен държавен изпит. Може би ще има някакъв друг проблем по друга тема от теорията на вероятностите, но мисля, че няма да е неразрешим за тези, които "чувстват" решението на проблемите, представени тук.

Повече от 80 000 реални задачи на Единния държавен изпит 2020 г

Не сте влезли в системата "". Това не пречи на гледането и решаването на задачи Отворена банка за задачи от единния държавен изпит по математика, а да участват в потребителското състезание за решаване на тези задачи.

Резултат от търсенето на задачи за единен държавен изпит по математика за заявката:
„Автоматичната линия произвежда батерии. Вероятността завършената батерия да е дефектна е 0,02. Преди опаковането всяка батерия преминава през контролна система. » — Намерени са 22 задачи

Задача B6 ()

(гледания: 199 , отговори: 3 )

Автоматична линия произвежда батерии. Вероятността завършената батерия да е дефектна е 0,02. Преди опаковането всяка батерия преминава през контролна система. Вероятността системата да отхвърли дефектна батерия е 0,96. Вероятността системата по погрешка да отхвърли работеща батерия е 0,05. Намерете вероятността произволно избрана произведена батерия да бъде отхвърлена от системата за проверка.

Задача B6 ()

(гледания: 207 , отговори: 3 )

Автоматична линия произвежда батерии. Вероятността завършената батерия да е дефектна е 0,03. Преди опаковането всяка батерия преминава през контролна система. Вероятността системата да отхвърли дефектна батерия е 0,99. Вероятността системата по погрешка да отхвърли работеща батерия е 0,02. Намерете вероятността произволно избрана произведена батерия да бъде отхвърлена от системата за проверка.