Sarjade absoluutne lähenemine. Jadade absoluutne ja tingimuslik lähenemine Vahelduvad jadad

(üldiselt öeldes) keerukate terminitega, mille puhul seeria koondub

Sest absoluutne lähenemine seeria (1) on vajalik ja piisav (rea absoluutse lähenemise Cauchy-kriteerium), et mis tahes jaoks on olemas selline arv, et kõigi arvude ja täisarvude puhul kehtiks järgmine:

Kui rida on absoluutselt konvergentne, siis see koondub. Rida

absoluutselt ühtlustub ja rida

läheneb, kuid mitte absoluutselt. Lase

Sari, mis koosneb samadest terminitest nagu seeria (1), kuid üldiselt erinevas järjekorras. Seeriate (1) absoluutsest konvergentsist järgneb jada (3) absoluutne lähenemine ja seeria (3) summa on sama kui seeria (1). Kui read

absoluutselt koonduvad, siis: nende mis tahes lineaarne kombinatsioon

ka absoluutselt koondub; jada, mis on saadud nende ridade terminite kõigist võimalikest paarikaupa korrutistest, mis on järjestatud suvalises järjekorras, on samuti absoluutselt konvergentne ja selle summa võrdub nende ridade summade korrutisega. Absoluutselt koonduvate seeriate loetletud omadused kanduvad edasi mitu rida

koondub absoluutselt, st kõik seeria (4) liikmete järjestikusel liitmisel indeksitega koonduvad absoluutselt ning mitmete seeriate (4) ja korduvate seeriate (5) summad on võrdsed ja langevad kokku mis tahes moodustatud üksikute seeriate summaga kõigist sarja liikmetest (4 ).

Kui seeria (1) liikmed on teatud Banachi ruumi elemendid koos elementide normiga, siis nimetatakse seeriat (1). absoluutselt koonduv, kui seeria läheneb

A. s. R. Banachi ruumi elemendid, absoluutselt koonduvate arvuridade, eriti algebraliste süsteemide ülaltoodud omadused on üldistatud. R. Banachi ruumi elemendid koonduvad selles ruumis. Sarnasel viisil on A. s. R. kantakse üle mitmesse seeriasse Banachi ruumis.

Matemaatiline entsüklopeedia. - M.: Nõukogude entsüklopeedia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Vaadake, mis on "ABSOLUTELY CONVERGENT SERIES" teistes sõnaraamatutes:

Funktsionaalne jada (1) (üldiselt öeldes) kompleksterminitega, mis koonduvad hulgale X ja nii, et iga e>0 korral on arv ne , et kõigi n>ne ja kogu ebavõrdsuse korral kus ja Teisisõnu, a osaline järjestus ... ... Matemaatiline entsüklopeedia

Sisu. 1) Definitsioon. 2) Jadaga määratud arv. 3) ridade lähenemine ja lahknemine. 4) Tingimuslik ja absoluutne konvergents. 5) Ühtlane konvergents. 6) Funktsioonide laiendamine jadadesse. 1. Mõisted. R. on elementide jada ... ... Entsüklopeediline sõnaraamat F.A. Brockhaus ja I.A. Efron

Lõpmatu summa, teatud lineaarse topoloogilise elementide jada (nimetatakse antud jada liikmeteks). ruum ja teatud lõpmatu hulk nende lõplikest summadest (nimetatakse maailma osasummadeks... ... Matemaatiline entsüklopeedia

Jada, lõpmatu summa, näiteks kujul u1 + u2 + u3 +... + un +... ehk lühidalt . (1) Üks lihtsamaid jada näiteid, mida leidub juba elementaarmatemaatikas, on lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa 1 + q + q 2 +... + q... ...

I on lõpmatu summa, näiteks kujul u1 + u2 + u3 +... + un +... ehk lühidalt: Üks lihtsamaid summa näiteid, mida leidub juba elementaarmatemaatikas, on lõpmatult kahanev summa. summa...... Suur Nõukogude entsüklopeedia

Funktsioonide jada, mis varjutamata piirkonnas lähenevad naturaallogaritmile (punane). Sel juhul on see astmerea N osasumma, kus N näitab liikmete arvu. Funktsionaalne seeria ... Wikipedia

S on mitmekordne jada, tabeliliikmetest koosneva vormi avaldis, mille iga liige on nummerdatud indeksitega m, n, . . . , p, mis läbivad kõik naturaalarvud üksteisest sõltumatult. Teooria K. r. sarnane topeltseeriateooriaga. Vaata ka… … Matemaatiline entsüklopeedia

Mitmekaareliste koosinuste ja siinuste jada, st vormi või kompleksvormiga jada, kus nimetatakse vastavalt ak, bk või ck. T.r koefitsiendid Esimest korda T. r. leitud L. Eulerilt (L. Euler, 1744). Ta sai lagunemise väävlis. 18. sajand seoses... ... Matemaatiline entsüklopeedia

Seeriad, kus on funktsioonid, mis on mõnes k-st sõltumatus piirkonnas holomorfsed. Kui kõigi puhul, siis nimetatakse seeriat (*). Hartogsa lähedal. Mis tahes funktsiooni, mis on D-tüüpi Hartogi domeenis holomorfne, saab DG-s lahutada absoluutselt ja ühtlaselt konvergentseks funktsiooniks. L.r. Täielikult... ... Matemaatiline entsüklopeedia

Vahelduv seeria on vahelduva seeria erijuhtum.

Definitsioon 2.2. Numbriseeria, mille liikmetel mis tahes arvu järel on erinevad märgid, kutsus vahelduv märk .

Vahelduvate seeriate puhul kehtib järgmine: üldine piisav lähenemise test.

Teoreem 2.2. Olgu antud vahelduv seeria

Kui selle jada liikmete moodulitest koosnev jada läheneb

siis koondub vahelduvrida (2.2) ise.

Tuleb märkida, et vastupidine väide ei vasta tõele: kui seeria (2.2) läheneb, ei tähenda see, et seeria (2.3) läheneb.

Definitsioon 2.3. absoluutselt konvergentne , kui selle liikmete moodulitest koosnev jada läheneb.

Vahelduvat seeriat nimetatakse tinglikult koonduvad , kui ta ise läheneb, kuid selle liikmete moodulitest koosnev jada lahkneb.

Vahelduvate seeriate hulgas on eriline koht absoluutselt koonduvatel seeriatel. Sellistel seeriatel on mitmeid omadusi, mille sõnastame ilma tõestuseta.

Kahe absoluutselt koonduva summadega jada korrutis on absoluutselt koonduv jada, mille summa on võrdne .

Seega absoluutselt koonduvad jadad summeeritakse, lahutatakse ja korrutatakse nagu tavalisi jadasid. Selliste seeriate summa ei sõltu terminite kirjutamise järjekorrast.

Tinglikult koonduvate ridade puhul vastavad väited (omadused) üldiselt ei kehti.

Seega on tingimuslikult koonduva jada tingimusi ümber paigutades võimalik tagada ridade summa muutumine. Näiteks sari tinglikult koondub Leibnizi kriteeriumi järgi. Olgu selle seeria summa võrdne . Kirjutame selle tingimused ümber nii, et ühe positiivse liikme järel oleks kaks negatiivset. Saame sarja

Summa on poole võrra vähenenud!

Veelgi enam, tingimuslikult koonduva jada tingimusi ümber paigutades võib saada ettemääratud summaga koonduva jada või lahkneva jada (Riemanni teoreem).

Seetõttu ei saa seeriaga tehteid teha ilma nende absoluutset lähenemist tagamata. Absoluutse konvergentsi kindlakstegemiseks kasutatakse kõiki positiivsete terminitega arvuridade konvergentsi märke, asendades ühise liikme kõikjal selle mooduliga.

Näide 2.1. .

Lahendus. Algseeria on vahelduv. Vaatleme seeriat, mis koosneb antud seeria liikmete absoluutväärtustest, st. rida . Kuna , siis ei ole sarnase seeria tingimused suuremad kui Dirichlet' seeria tingimused , mis teatavasti koondub. Seetõttu läheneb see seeria võrdluskriteeriumi põhjal absoluutselt. ,

Näide 2.2. Uurige seeriat lähenemise suhtes.

Lahendus.

2) Vaatleme absoluutarvudest koosnevat seeriat. Uurime selle konvergentsi d'Alemberti testi abil

D'Alemberti kriteeriumi järgi koondub absoluutliikmetest koosnev jada. See tähendab, et algne vahelduv seeria läheneb absoluutselt. ,

Näide 2.3. Uurige seeriat lähenemise suhtes .

Lahendus. 1) See rida on vahelduv. Kasutame Leibnizi kriteeriumit. Kontrollime, kas tingimused on täidetud.

Seetõttu koondub esialgne seeria.

2) Vaatleme absoluutarvudest koosnevat seeriat. Uurime seda lähenemise osas, kasutades piiravat võrdluskriteeriumi. Mõelge harmoonilisele seeriale, mis lahkneb.

Järelikult käituvad mõlemad sarjad identselt, s.t. lahkneb ka absoluutväärtustest koosnev jada. See tähendab, et algne vahelduv seeria koondub tinglikult. ,

Nüüd liigume edasi nende seeriate uurimise juurde, mille liikmed on mis tahes märgi reaalarvud.

Definitsioon 1. Nimetame seeriat

absoluutselt koonduv, kui seeria läheneb

Pange tähele, et see definitsioon ei ütle midagi selle kohta, kas seeria (1.49) ise läheneb. Selgub, et selline oletus poleks vajalik, kuna järgnev teoreem on tõene.

Teoreem 1.9. Jadade (1,50) konvergents tähendab ridade (1,49) lähenemist.

Tõestus. Kasutame seeria jaoks Cauchy kriteeriumi (st teoreem 1.1). Tuleb tõestada, et mis tahes arvu korral on selline arv, et kõigi tingimust rahuldavate arvude ja naturaalarvu puhul on tõene järgmine ebavõrdsus:

Parandame mis tahes. Kuna jada (1.50) läheneb, siis on teoreemi 1.1 järgi arv, mis vastab kõikidele tingimusele vastavatele arvudele ja igale naturaalarvule järgmine ebavõrdsus:

Kuna mitme liikme summa moodul ei ületa nende moodulite summat, siis

Võrreldes võrratusi (1,52) ja (1,53), saame ebavõrdsuse (1,51). Teoreem on tõestatud.

Definitsioon 2. Jada (1.49) nimetatakse tinglikult koonduvaks, kui see jada koondub, samas kui vastav moodulite jada (1.50) lahkneb.

Absoluutselt koonduva jada näide on seeria.

See jada läheneb absoluutselt, sest kui jada (1,33) läheneb.

Toome näite tinglikult koonduvast jadast. Tõestame jada tingimuslikku lähenemist

Kuna vastavad moodulite jadad (harmoonilised jada), nagu me juba teame, lahknevad, siis seeria (1,54) tingimusliku konvergentsi tõestamiseks piisab selle jada koondumise tõestamisest. Tõestame, et seeria (1.54) läheneb arvule . Lõikes 2 § 9 ptk. 6 1. osas saime lagunemise funktsiooni Maclaurini valemi järgi

Seal saadi segmendi kõigi x jaoks järgmine hinnang ülejäänud liikme kohta.

Rida

Olgu seeria antud ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n)) Ja α = lim ¯ n → ∞ ⁡ | a n | n (\displaystyle \alpha =\varlimsup _(n\to \infty )(\sqrt[(n)](|a_(n)|))). Siis

Väide lähenemise kohta Cauchy ja d'Alemberti testides on tuletatud võrdlusest geomeetrilise progressiooniga (koos nimetajatega lim ¯ n → ∞ ⁡ | a n + 1 a n | (\displaystyle \varlimsup _(n\to \infty )\left|(\frac (a_(n+1))(a_(n)))\right|) Ja α (\displaystyle \alpha ) vastavalt), lahknemise kohta - sellest, et seeria ühine termin ei kipu nulli.

Cauchy märk tugevam märk D'Alemberti test selles mõttes, et kui D'Alemberti test näitab konvergentsi, siis Cauchy test samuti konvergentsi; kui Cauchy test ei võimalda teha järeldust konvergentsi kohta, siis ei võimalda ka D'Alemberti test järeldusi teha; On seeriaid, mille puhul Cauchy test näitab konvergentsi, kuid D'Alemberti test konvergentsi ei näita.

Integreeritud Cauchy-Maclaurin test

Olgu seeria antud ∑ n = 1 ∞ a n , a n ⩾ 0 (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n),a_(n)\geqslant 0) ja funktsioon f (x) : R → R (\displaystyle f(x):\mathbb (R) \to \mathbb (R) ) selline, et:

Siis sari ∑ n = 1 ∞ a n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n)) ja lahutamatu ∫ 1 ∞ f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(1)^(\infty )f(x)dx) koonduvad või lahknevad samaaegselt ja ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ a n ⩾ ∫ k ∞ f (x) d x ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ a n (\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum)^(n=nfkty) )a_(n)\geqslant \int \limits _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))

Raabe märk

Olgu seeria antud ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n)), a n > 0 (\displaystyle a_(n)>0) Ja R n = n (a n a n + 1 − 1) (\displaystyle R_(n)=n\left((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\right)).

Raabe test põhineb võrdlusel üldistatud harmooniliste ridadega

Toimingud ridadel

Näited

Mõelge sarjale 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 +. . . (\displaystyle (\frac (1) (2))+(\frac (1) (3))+(\frac (1)(2^(2)))+(\frac (1)(3^( 2)))+(\frac (1)(2^(3)))+...). Selle rea jaoks:

Seega Cauchy test näitab konvergentsi, samas kui D'Alemberti test ei võimalda teha järeldusi.

Mõelge sarjale ∑ n = 1 ∞ 2 n − (− 1) n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )2^(n-(-1)^(n)))

Seega näitab Cauchy test lahknemist, samas kui D'Alemberti test ei võimalda teha mingeid järeldusi.

Rida ∑ n = 1 ∞ 1 n α (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n^(\alpha )))) koondub kell α > 1 (\displaystyle \alpha >1) ja lahkneb kell α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1), Kuid:

Seega ei luba Cauchy ja d'Alemberti märgid teha mingeid järeldusi.

Rida ∑ n = 1 ∞ (− 1) n n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n))) koondub tinglikult Leibnizi kriteeriumi järgi, kuid mitte absoluutselt, kuna harmooniline jada ∑ n = 1 ∞ | (− 1) n n | = ∑ n = 1 ∞ 1 n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )\left|(\frac ((-1)^(n))(n))\right|=\sum _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n))) lahkneb.

, on punkti vasakpoolses naabruses piiramatu b (\displaystyle b). Vale teist tüüpi integraal ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)dx) helistas absoluutselt konvergentne, kui integraal koondub ∫ a b | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)|f(x)|dx).

Näide 2.

Uurige, kas seeria läheneb.

Kuna

Siis seeria läheneb.

Integraalse konvergentsi test

Konvergentsi integraalkriteerium on väljendatud järgmise teoreemiga

Teoreem 1.8.

Antud seeria positiivsete tingimustega

Kui funktsioon on pidev, positiivne ja ei suurene ning võtab punktides väärtused, siis seeria(1.23) ja vale integraal(1.24) koonduvad või lahknevad samal ajal.

Tõestus.

Kui , kuhu siis

;

Kui integraal (1.24) koondub ja , See mis tahes looduslikuga Seega

.

Kuna tegemist on monotoonselt suureneva ja piiratud jadaga, siis on olemas, s.t. seeria (1.23) samuti koondub. Kui seeria (1.23) läheneb ja , siis mis tahes .

Võrdsusest (1.26) järeldub, et igal . Vale integraal samuti koondub.

Integraaltesti abil saab tõestada, et seeria

(1.27)

kus on mis tahes reaalarv, läheneb juures ja lahkneb juures .

Tõepoolest, see läheneb ja lahkneb kell .

Vahelduvad read. Leibnizi test

Vahelduv järgmine on seeria, millel on kaks terminit numbritega ja omavad vastandlikke märke, st. vormi seeria

(1.30)

Tõestus.

Vaatleme paaris ja paaritu arvuga seeriate (1.28) osasummasid:

Teisendame neist summadest esimese:

Tingimusest (1.29) tulenevalt on iga sulu vahe positiivne, seega summa ja kõigile. Seega on isegi osasummade jada monotoonselt kasvav ja piiratud. Sellel on piir, mida me tähistame , st. . Kuna , siis eelnevat võrdsust ja tingimust (1.30) arvesse võttes saame

Seega on antud seeria osaliste summade jadal vastavalt paaris ja paaritu arvuga sama piir. Sellest järeldub, et seeria kõigi osasummade jadal on piir; need. seeria läheneb.

Näide.

Uurige, kas jada läheneb

(1.31)

See seeria on vahelduv. See koondub, kuna rahuldab teoreemi tingimusi

Vahelduva seeria ülejäänud osa hinnang määratakse järgmise teoreemi abil.

Teoreem 1.10.

Leibnizi teoreemi tingimusi rahuldava vahelduva jada jäägi summal on esimese ülejäänud liikme märk ja see ei ületa seda absoluutväärtuses.

Tõestus.

Vaatleme seeria (1.28) ülejäänud osa pärast tingimusi. Olgu siis selle summa -i osasumma

Kuna teoreemi 1.9 tingimused on täidetud, siis kõigi ees, st. , kus

või

Sarnaselt on tõestatud, et rea ülejäänud osade summa pärast tingimusi vastab tingimustele , st. Ja .

Seega, olenemata paaris või paaritu

Mõelge sarjale, mis koosneb selle seeria liikmete moodulitest:

(1.34)

Teoreem 1.11.

Kui rida(1.34) koondub, siis seeria koondub(1.33).

Tõestus.

Kuna jada (1.34) läheneb, siis Cauchy kriteeriumi (teoreem 1.1) alusel eksisteerib suvalise jaoks selline arv , siis kehtib kõigi ja mis tahes täisarvude korral ebavõrdsus

.

See . See tähendab, et ka seeria (1,33) läheneb.

Kommenteeri.

Jadade (1.33) lähenemine ei tähenda ridade (1.34) lähenemist. Näiteks sari koondub (vt jaotis 1.6) ja selle liikmete moodulite jada lahkneb (harmoonilised jadad, vt jaotis 1.2).

absoluutselt konvergentne, kui tema liikmete moodulite jada läheneb. Näiteks sari

on absoluutselt konvergentne, kuna tema liikmete moodulite jada koondub, s.o. seeria (geomeetriline progressioon nimetajaga , ).

Vahelduvat seeriat nimetatakse mitteabsoluutselt koonduv (tinglikult konvergentne), kui see koondub, kuid selle liikmete moodulite jada lahkneb. Näiteks seeria ei ole absoluutselt konvergentne (vt märkust).

Toimingud ridadel.

Sarja toode

Teoreem 1.12.

Kui rida(1.35) koondub, siis seeria(1.36) samuti koondub, ja

(1.37)

Tõestus.

Tähistame u - e ridade (1.35) ja (1.36) osasummasid, s.o.

Ilmselgelt,. Kui jada (1.35) läheneb ja selle summa on võrdne , s.o. , , See

Lisaks seeriatele (1,35) arvestage ka seeriatega

samuti koondub absoluutselt ja selle summa on võrdne

Kommenteeri.

Seeriatega opereerimise reeglid ei lange alati kokku lõplike summadega opereerimise reeglitega. Eelkõige saab lõplike summade korral suvaliselt muuta terminite järjekorda, rühmitada termineid nii, nagu sulle meeldib, ja summa ei muutu. Lõppsumma tingimusi saab liita vastupidises järjekorras, seeria puhul pole see võimalik, kuna sellel pole viimast tähtaega.

Alati ei ole võimalik liikmeid sarja grupeerida. Näiteks sari

on lahknev, sest

ja selle osalised summad ei ole piiratud. Pärast liikmete rühmitamist

saame koonduva jada, mille summa on null. Erineva liikmete rühmaga

saame koonduva jada, mille summa on võrdne ühega.

Esitame kaks teoreemi ilma tõestuseta.

Teoreem 1.14.

Absoluutselt koonduva jada tingimuste ümberkorraldamine ei riku selle konvergentsi, ridade summa jääb samaks.

Teoreem 1.15.

Kui jada ei koondu absoluutselt, siis selle tingimusi õigesti ümber paigutades on alati võimalik anda jada summale suvaline väärtus ja muuta seeria isegi lahknevaks.