Automaatliin toodab akusid. Õpime matemaatika ühtsel riigieksamil lahendama tõenäosusteooria ülesandeid.Automaatliin toodab patareisid,tõenäosus 0,01

Ettevalmistus matemaatika ühtseks riigieksamiks. Kasulikud materjalid ja videoanalüüs tõenäosusteooria probleemidest.

Kasulikud materjalid

Ülesannete videoanalüüs

Taga ümarlaud 3 poissi ja 2 tüdrukut istuvad juhuslikult viiele toolile. Leidke tõenäosus, et mõlemad tüdrukud istuvad kõrvuti.

Võlumaal on kahte tüüpi ilma: hea ja suurepärane ning hommikul kehtestatud ilm püsib muutumatuna kogu päeva. Teadaolevalt on 0,7 tõenäosusega homme samasugune ilm nagu täna. Täna on 28. märts, Võlumaal on hea ilm. Leia tõenäosus, et 1. aprillil on Haldjamaal suurepärane ilm.

Sukeldumismeistrivõistlustel võistleb 50 sportlast, sealhulgas 8 hüppajat Venemaalt ja 10 hüppajat Mehhikost. Esinemiste järjekord määratakse loosi teel. Leidke tõenäosus, et Venemaalt pärit hüppaja võistleb viieteistkümnendaks.

Pildil on labürint. Ämblik roomab labürinti punktis "Sissepääs". Ämblik ei saa ümber pöörata ja tagasi roomata, seega valib ämblik igal hargnemisel ühe tee, mida mööda ta pole veel roomanud. Eeldusel, et edasise tee valik on puhtjuhuslik, määrake kindlaks, kui suure tõenäosusega jõuab ämblik D-st väljumiseni.

Automaatliin toodab akusid. Tõenäosus, et valmis aku on vigane, on 0,02. Enne pakendamist läbib iga aku juhtimissüsteemi. Tõenäosus, et süsteem lükkab vigase aku tagasi, on 0,99. Tõenäosus, et süsteem lükkab töötava aku ekslikult tagasi, on 0,01. Leidke tõenäosus, et kontrollsüsteem lükkab juhuslikult valitud aku tagasi.

Tõenäosus, et aku on defektne, on 0,06. Ostja poes valib juhusliku pakendi, mis sisaldab kahte sellist patareid. Leidke tõenäosus, et mõlemad patareid on head.

Probleemide valik

Mišhal oli taskus neli kommi - "Griljazh", "Belochka", "Korovka" ja "Pääsuke", samuti korteri võtmed. Võtmeid välja võttes kukkus Miša taskust kogemata üks komm. Leidke tõenäosus, et "Grillage" komm läks kaduma.
Kuulitõukevõistlusel osaleb 4 sportlast Soomest, 7 sportlast Taanist, 9 sportlast Rootsist ja 5 sportlast Norrast. Sportlaste võistlemise järjekord määratakse loosi teel. Leia tõenäosus, et viimasena võistlev sportlane on pärit Rootsist.
Enne sulgpalli meistrivõistluste esimese ringi algust jagatakse osalejad loosiga juhuslikult mängupaaridesse. Kokku osaleb meistrivõistlustel 26 sulgpallurit, sealhulgas 10 osalejat Venemaalt, sealhulgas Ruslan Orlov. Leia tõenäosus, et Ruslan Orlov mängib esimeses ringis mõne Venemaa sulgpalluriga?
Maailmameistrivõistlustel osaleb 16 meeskonda. Loosi kasutades tuleb nad jagada nelja rühma, igaühes neli meeskonda. Kastis on segatud kaardid rühmanumbritega: $1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. $$ Meeskonna kaptenid loosivad ühe kaart iga . Kui suur on tõenäosus, et Venemaa koondis jääb teise gruppi?
Teaduskonverents toimub 5 päeva jooksul. Kokku on kavas 75 aruannet – esimesed kolm päeva sisaldavad 17 teadet, ülejäänud jagunevad võrdselt neljanda ja viienda päeva vahel. Aruannete esitamise järjekord määratakse loosi teel. Kui suur on tõenäosus, et professor Maksimovi ettekanne jääb konverentsi viimasele päevale?
1000 müüdud aiapumbast lekib keskmiselt 5. Leidke tõenäosus, et üks juhuslikult juhtimiseks valitud pump ei leki.
Tehas toodab kotte. Keskmiselt tuleb iga 100 kvaliteetkoti kohta kaheksa varjatud defektidega kotti. Leidke tõenäosus, et ostetud kott on kvaliteetne. Ümarda tulemus sajandikuteks.
Kaheteisttunnise sihverplaadiga mehaaniline kell läks mingil hetkel katki ja lakkas töötamast. Leia tõenäosus, et tunniosuti tardub, jõudes kella 10-ni, kuid mitte jõudes kella 1-ni.
Juhusliku katse käigus visatakse sümmeetriline münt kaks korda. Leidke tõenäosus, et esimesel korral maandub see pea ja teisel korral saba.
Juhusliku katse käigus visatakse sümmeetriline münt kaks korda. Leidke tõenäosus, et pead ilmuvad täpselt üks kord.
Juhusliku katse käigus visatakse sümmeetrilist münti kolm korda. Leidke tõenäosus, et saate vähemalt kaks pead.
Juhusliku katse käigus veeretatakse kahte täringut. Leidke tõenäosus, et kogusumma on 8 punkti. Ümarda tulemus sajandikuteks.
Rokifestivalil esinevad bändid – üks igast deklareeritud riigist. Esitamise järjekord määratakse loosiga. Kui suur on tõenäosus, et Rootsi ja Norra grupi järel esineb Taanist pärit rühm? Ümarda tulemus sajandikuteks.
Klassis on 26 inimest, nende hulgas kaks kaksikut - Andrey ja Sergey. Klass jaguneb juhuslikult kaheks 13-liikmeliseks rühmaks. Leidke tõenäosus, et Andrei ja Sergei on samas rühmas.
Klassis on 21 inimest. Nende hulgas on kaks sõpra: Anya ja Nina. Klass jaguneb juhuslikult 7 rühma, igas 3 inimest. Leidke selle tõenäosus. et Anya ja Nina on samas grupis.
Laskur laseb sihtmärki ühe korra. Kui ta eksib, laseb laskur samasse märklauda teise lasu. Ühe lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus on 0,7. Leidke tõenäosus, et sihtmärk tabatakse (kas esimese või teise lasuga).
Kui vanameister Antonov mängib valgena, siis võidab ta suurmeister Borisovi vastu tõenäosusega 0,52. Kui Antonov mängib mustanahalist, siis Antonov võidab Borisovi vastu tõenäosusega 0,3. Suurmeistrid Antonov ja Borisov mängivad kaks geimi ning teises geimis muudavad nuppe värvi. Leidke tõenäosus, et Antonov võidab mõlemal korral.
Kaupluses on kolm müüjat. Igaüks neist on hõivatud kliendiga tõenäosusega 0,3. Leidke tõenäosus, et juhuslikul ajahetkel on kõik kolm müüjat samal ajal hõivatud (oletame, et kliendid tulevad üksteisest sõltumatult).
Tõenäosus, et uus DVD-mängija saab aasta jooksul garantii korras remonditud, on 0,045. Teatud linnas sai aasta jooksul müüdud 1000 DVD-mängijast garantiitöökotta 51 ühikut. Kui palju erineb “garantiiremondi” sündmuse sagedus selle tõenäosusest selles linnas?
67 mm läbimõõduga laagrite valmistamisel on tõenäosus, et läbimõõt erineb ettenähtust mitte rohkem kui 0,01 mm, 0,965. Leidke tõenäosus, et juhusliku laagri läbimõõt on alla 66,99 mm või suurem kui 67,01 mm.
Kui suur on tõenäosus, et juhuslikult valitud naturaalarv vahemikus 10 kuni 19 jagub kolmega?
Enne jalgpallimatši algust viskab kohtunik mündi, et teha kindlaks, milline meeskond palliga alustab. Fiziku meeskond mängib kolm kohtumist erinevate meeskondadega. Leidke tõenäosus, et nendes mängudes võidab "füüsik" loosi täpselt kaks korda.
Enne võrkpallimatši algust loosivad meeskondade kaptenid õiglase loosi, et otsustada, milline meeskond alustab mängu palliga. "Staatori" meeskond mängib kordamööda "Rootori", "Mootori" ja "Starteri" meeskondadega. Leidke tõenäosus, et Stator alustab ainult esimest ja viimast mängu.
Kaupluses on kaks makseautomaati. Igaüks neist võib olla vigane tõenäosusega 0,05, olenemata teisest masinast. Leidke tõenäosus, et vähemalt üks masin töötab.
Ivan Ivanovitš hindas klientide arvustuste põhjal kahe veebipoe töökindlust. Tõenäosus, et soovitud toode kauplusest A tarnitakse, on 0,8. Tõenäosus, et see toode kauplusest B tarnitakse, on 0,9. Ivan Ivanovitš tellis kaupa mõlemast poest korraga. Eeldusel, et veebipoed tegutsevad üksteisest sõltumatult, leidke tõenäosus, et ükski pood toodet ei tarni.
Laskesuusataja laseb märklauda viis korda. Ühe lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus on 0,8. Leia tõenäosus, et laskesuusataja tabab sihtmärke esimesel kolmel korral ja jääb kahel viimasel korral mööda. Ümarda tulemus sajandikuteks
Ruumi valgustab kahe lambiga latern. Ühe lambi läbipõlemise tõenäosus aasta jooksul on 0,3. Leia tõenäosus, et aasta jooksul ei põle vähemalt üks lamp läbi.
Geomeetria eksamil saab õpilane eksamiküsimuste nimekirjast ühe küsimuse. Tõenäosus, et see on sisse kirjutatud ringi küsimus, on 0,2. Tõenäosus, et see on küsimus teemal "Parallelogramm", on 0,15. Nende kahe teemaga samaaegselt seotud küsimusi pole. Leidke tõenäosus, et õpilane saab eksamil küsimuse ühel neist kahest teemast.
Linnaosa keskusest külasse sõidab iga päev buss. Tõenäosus, et esmaspäeval on bussis alla 20 reisija, on 0,94. Tõenäosus, et reisijaid on vähem kui 15, on 0,56. Leidke tõenäosus, et reisijate arv jääb vahemikku 15–19.
Tõenäosus, et uus elektriline veekeetja peab vastu üle aasta, on 0,97. Tõenäosus, et see kestab üle kahe aasta, on 0,89. Leidke tõenäosus, et see kestab vähem kui kaks aastat, kuid rohkem kui aasta.
Tõenäosus, et õpilane O. lahendab bioloogiatestis õigesti rohkem kui 11 ülesannet, on 0,67. Tõenäosus, et O. lahendab õigesti rohkem kui 10 ülesannet, on 0,74. Leidke tõenäosus, et O. lahendab õigesti täpselt 11 ülesannet.
Järgmisesse vooru pääsemiseks peab jalgpallimeeskond koguma kahe mänguga vähemalt 4 punkti. Kui võistkond võidab, saab ta 3 punkti, viigi korral 1 punkti ja kaotuse korral 0 punkti. Leidke tõenäosus, et meeskond pääseb järgmisesse võistlusvooru. Arvestage, et igas mängus on võidu ja kaotuse tõenäosus sama ja võrdne 0,4.
Võlumaal on kahte tüüpi ilma: hea ja suurepärane ning hommikul kehtestatud ilm püsib muutumatuna kogu päeva. On teada, et tõenäosusega 0,8 on homme samasugune ilm nagu täna. Täna on 3. juuli, ilm on Võlumaal hea. Leia tõenäosus, et 6. juulil on Haldjamaal suurepärane ilm.
Turistigrupis on 5 inimest. Loosi kasutades valivad nad välja kaks inimest, kes peavad külas toitu ostma minema. Artjom tahaks poodi minna, aga ta täidab loosi. Kui suur on tõenäosus, et Artem läheb poodi?
Keeleteaduse eriala instituuti astumiseks peab taotleja koguma ühtsel riigieksamil vähemalt 70 punkti kolmes õppeaines - matemaatikas, vene keeles ja võõrkeeles. Erialale "Kaubandus" registreerumiseks peate koguma vähemalt 70 punkti kolmes õppeaines - matemaatikas, vene keeles ja ühiskonnaõpetuses. Tõenäosus, et Petrov saab matemaatikas vähemalt 70 punkti, on 0,6, vene keeles - 0,8, aastal võõrkeel-- 0,7 ja ühiskonnaõpetuses -- 0,5. Leidke tõenäosus, et Petrov suudab registreeruda vähemalt ühele kahest nimetatud erialast
Suurtükitule ajal laseb automaatsüsteem lasku sihtmärgi pihta. Kui sihtmärki ei hävitata, teeb süsteem teise lasu. Laske korratakse, kuni sihtmärk on hävitatud. Teatud sihtmärgi hävitamise tõenäosus esimese lasuga on 0,4 ja iga järgneva lasuga 0,6. Mitu lasku on vaja selleks, et sihtmärgi hävitamise tõenäosus oleks vähemalt 0,98?

Hiljuti palusid nad mul aidata lahendada kaks tõenäosusteooria ülesannet matemaatika ühtse riigieksami raames. Püüdsin välja selgitada raskuse põhjuseid ja jõudsin järeldusele, et raskused tekivad õpikute vähesusest, kuigi seda on raske uskuda, ja sellest, et ei tunneta tõenäosusteooria teemat. Olgu kuidas on, peate ikkagi õppima, kuidas tõenäosusteoorias konkreetseid probleeme kasutades lahendada. Pealegi on ühtsel riigieksamil tõenäoliselt ainult seda tüüpi ülesanded. Arvan, et selliste mõistete nagu sündmus, tõenäosus, sõltumatute sündmuste tõenäosuste summa mõistmine ei tekita raskusi. Kuid sündmusi on raske välja tuua, hüpoteese määratleda ja kõike tükkideks sorteerida. Kuid tasub üks või kaks korda hea ja läbimõeldud pilk heita valmis lahendus konkreetset ülesannet, kuna selgub, et sisuliselt on ülesanded üsna lihtsad ja osaliselt valemiga ning mis kõige tähtsam – huvitavad ja elulised. Siis võiksite eksamil rohkem punkte teenida rohkem selliseid ülesandeid lahendada, kuid kahjuks on neid tõenäoliselt ainult 2 ja ainult jaotises B.

Noh, asume ülesannete juurde.

Ülesanne 1. Linnaosa keskusest külasse sõidab iga päev buss. Tõenäosus, et bussis on alla kahekümne reisija, on 0,94. Tõenäosus, et reisijaid jääb alla viieteistkümne, on 0,56. Leidke tõenäosus, et bussis on reisijate arv viisteist kuni üheksateist inimest.

Mõelgem juhuslik muutuja x – reisijate arv bussis. Seejärel kirjutatakse ülesande tingimused kujul P(x≤19)=0,94, P(x≤14)=0,56. Ja soovitud tõenäosus on P(14

Vastus: 0,38.

Huvitav, miks ma kirjutan P(x≤19), mitte P(x<20) = 0,94. Дело в том, что есть понятие функции распределения F(a)=P(x≤a) и имеется известная формула P(a

Seetõttu selgitame seda tüüpi probleemi lahendust lihtsalt elementaarsete mõistete abil. Olgu siis sündmus A nii, et bussiga otsustas sõita alla 20 inimese, st. P(A) = 0,94. Sündmus B – bussis on alla 15 reisija ja seetõttu P(B) = 0,56. Sündmus C – bussis on 15–19 reisijat ja tuleb välja arvutada selle sündmuse tõenäosus P(C). Aga sündmused B ja C koos (peab ütlema, sündmuste liit) moodustavad sündmuse A ja nad ei ristu, s.t. sündmused B ja C ei saa esineda koos. Seetõttu on meil P(A)=P(B)+P(C), millest P(C) = P(A) - P(B) = 0,94 - 0,56 = 0,38.

Ülesanne 2. Automaatliin toodab patareisid. Tõenäosus, et valmis aku on vigane, on 0,03. Enne pakendamist läbib iga aku juhtimissüsteemi. Tõenäosus, et süsteem lükkab vigase aku tagasi, on 0,95. Tõenäosus, et süsteem lükkab töötava aku ekslikult tagasi, on 0,04. Leidke tõenäosus, et süsteem lükkab juhuslikult valitud aku tagasi.

Tähistame sündmusi:

A – valitud aku on vigane.

B – valitud aku töötab.

C – juhtimissüsteem lükkas aku tagasi.

Sündmused A ja B esindavad terviklikku süsteemi, s.t. aku valimisel toimub tingimata üks sündmustest A või B. Ja pärast juhtimist toimub sündmus C. See sündmus võib toimuda kas sündmuse A või sündmuse B taustal ehk teisisõnu hüpoteesi realiseerimisel sündmuse A või mõne muu hüpoteesi täitmine, mis seisneb selles, et valitud aku oli hea (sündmus B).

Rakendades kogutõenäosuse valemit, saame sündmuse C soovitud tõenäosuse:

Р(С) = Р(А)Р(С/А) + Р(В)Р(С/В) = 0,03 × 0,95 + 0,97 × 0,04 = 0,0673

Siin arvutatakse sündmuse B tõenäosus P(B) = 1 – P(A) = 1 – 0,03 = 0,97.

Vastus: 0,0673.

Tahan välja pakkuda veel ühe mõttekäigu, mis minu arvates võib aidata seda probleemi lahendada neil õpilastel või õpetajatel, kes ei saa selle puudumise tõttu õpikut lugeda ega mõista täieliku tõenäosuse valemit.

Võite ette kujutada, et toodetud akusid on 100, millest 3 ei tööta ja 97 töötavad. Ja nii saadeti kõik need patareid kontrolli alla. On selge, et kolmest vigasest akust koosnev süsteem lükkab tagasi 3 × 0,95 = 2,85 tükki. Et me ei šokeeriks tükkide murdarvust, arvestame mitte 100 patareid, vaid 100 korda rohkem, s.t. 1000, millest 300 on vigased ja 9700 töökorras. 300 vigasest lükkab süsteem tagasi 285 ja 9700 kasutuskõlblikust 388 ning 285 + 388 = 673 10 000-st ei jää märkimata. Ja siit saame lihtsalt jagades sama vastuse 673 korda 10 000.

Põhimõtteliselt piisab nende kahte tüüpi ülesannete valdamisest, et lisada selle “KOHTUVA” ühtse riigieksami edukaks sooritamiseks väga vajalikud eelised. Võib-olla tekib tõenäosusteooriast mõnel teisel teemal mõni muu probleem, aga ma arvan, et see ei jää lahendamatuks neile, kes siin toodud probleemidele lahendust “tunnetavad”.

Ühtse riigieksami 2020 üle 80 000 reaalse probleemi

Te pole süsteemi "" sisse logitud. See ei sega ülesannete vaatamist ja lahendamist Matemaatika ühtsete riigieksamiülesannete avatud pank, vaid osaleda kasutajavõistlusel nende ülesannete lahendamiseks.

Otsingutulemused matemaatika ühtse riigieksami ülesannete kohta päringule:
«Automaatliin toodab akusid. Tõenäosus, et valmis aku on vigane, on 0,02. Enne pakendamist läbib iga aku juhtimissüsteemi. » — Leiti 22 ülesannet

Ülesanne B6 ()

(vaateid: 199 , vastused: 3 )

Automaatliin toodab akusid. Tõenäosus, et valmis aku on vigane, on 0,02. Enne pakendamist läbib iga aku juhtimissüsteemi. Tõenäosus, et süsteem lükkab vigase aku tagasi, on 0,96. Tõenäosus, et süsteem lükkab töötava aku ekslikult tagasi, on 0,05. Leidke tõenäosus, et kontrollsüsteem lükkab juhuslikult valitud aku tagasi.

Ülesanne B6 ()

(vaateid: 207 , vastused: 3 )

Automaatliin toodab akusid. Tõenäosus, et valmis aku on vigane, on 0,03. Enne pakendamist läbib iga aku juhtimissüsteemi. Tõenäosus, et süsteem lükkab vigase aku tagasi, on 0,99. Tõenäosus, et süsteem lükkab töötava aku ekslikult tagasi, on 0,02. Leidke tõenäosus, et kontrollsüsteem lükkab juhuslikult valitud aku tagasi.