Які фігури можна зробити із листа мебіуса. Стрічка мебіуса - дивовижне відкриття

Лист Мебіуса є топологічним, тобто безперервним об'єктом із найпростішою односторонньою поверхнею з кордоном у звичайному Евклідовому просторі (3-мірному), де можливо з однієї точки такої поверхні, не перетинаючи краю, потрапити до будь-якої іншої.

Хто та коли її відкрив?

Такий непростий об'єкт, як стрічка Мебіуса, був відкритий досить незвичайно. Насамперед зазначимо, що два математики, абсолютно не пов'язані між собою у дослідженнях, відкрили її одночасно – у 1858 році. Ще одним цікавим фактом є те, що обидва вчені в різний час були учнями одного і того ж великого математика - Йоганна Карла Фрідріха Гауса. Так, до 1858 року вважалося, кожна поверхня повинна мати дві сторони. Проте Йоган Бенедикт Лістинг і Август Фердинанд Мебіус відкрили геометричний об'єкт, у якого була лише одна сторона, і описують його властивості. Стрічка була названа на честь Мебіуса, а от батьком-засновником «гумової геометрії» топологи вважають Лістінга та його працю «Попередні дослідження з топології».

Властивості

Стрічці Мебіуса властиві наступні властивості, що не змінюються при її стисканні, розрізанні вздовж або сминанні:

2. Безперервність виявляється у тому, що будь-яку точку цієї геометричної фігури можна з'єднати з будь-якою іншою її точкою, не перетинаючи межі поверхні Мебіуса.

3. Зв'язність, або двомірність, полягає в тому, що при розрізанні стрічки вздовж, з неї не вийде кілька різних фігур, і вона залишається цільною.

5. Особливий хроматичний номер, що показує, яка максимально можлива кількість областей на поверхні Мебіуса, можна створити так, щоб будь-яка з них мала спільний кордон з усіма іншими. Стрічка Мебіуса має хроматичний номер – 6, а от кільце з паперу – 5.

Наукове використання

Так, існує гіпотеза, за якою Всесвіт - це величезна петля Мебіуса. Побічно про це свідчить і теорія відносності Ейнштейна, згідно з якою навіть корабель, що полетів прямо, може повернутися в ту ж тимчасову і просторову точку, звідки стартував.

На думку фізиків, багато оптичних законів ґрунтуються на властивостях листа Мебіуса. Так, наприклад, дзеркальне відображення – це особливе перенесення у часі і людина бачить перед собою свого дзеркального двійника.

Реалізація на практиці

У різних галузях промисловості стрічка Мебіуса застосування знайшла вже давно. Великий винахідник Нікола Тесла на початку століття винайшов резистор Мебіуса, що складається з двох скручених на 1800 провідних поверхонь, який може протистояти потоку електричного струму без створення електромагнітних перешкод.

На основі досліджень поверхні стрічки Мебіуса та її властивостей було створено безліч пристроїв та приладів. Її форму повторюють при створенні смуги стрічкового конвеєра та фарбуючої стрічки в друкованих пристроях, абразивних ременів для заточування інструментів та автоматичної передачі. Це дозволяє значно збільшити термін їхньої служби, оскільки зношування відбувається більш рівномірно.

Нещодавно дивовижні особливості листа Мебіуса дозволили створити пружину, яка, на відміну від звичайних, які спрацьовують у протилежному напрямку, не змінює напрямок спрацьовування. Застосовується вона у стабілізаторі рульового приводу штурвала, забезпечуючи повернення рульового колеса у вихідне положення.

Крім того, знак стрічка Мебіуса використовується у різноманітних торгових марках та логотипах. Найвідоміший із них - це міжнародний символ вторинної переробки. Його проставляють на упаковках товарів або придатних для подальшої переробки, або з перероблених ресурсів.

Джерело творчої наснаги

Стрічка Мебіуса та її властивості лягли в основу творчості багатьох художників, письменників, скульпторів та кінематографістів. Найвідоміший художник, який використовував у таких своїх роботах, як «Стрічка Мебіуса II (Червоні мурахи)», «Вершники» та «Вузли», стрічку та її особливості – Мауріц Корнеліс Ешер.

Листи Мебіуса, або, як їх ще називають, поверхні мінімальної енергії стали джерелом натхнення для математичних художників і скульпторів, наприклад, Брента Коллінза або Макса Білла. Найвідоміший пам'ятник стрічці Мебіуса встановлено біля входу до вашингтонського Музею історії та техніки.

Російські художники також не залишилися осторонь цієї теми і створили свої роботи. Скульптури «Стрічка Мебіуса» встановлені в Москві та Єкатеринбурзі.

Література та топологія

Незвичайні властивості поверхонь Мебіуса надихнули багатьох письменників створення фантастичних і сюрреалістичних творів. Петля Мебіуса грає важливу роль у романі Р. Желязни «Двері в піску» і служить як засіб переміщення крізь простір та час для головного героя роману «Некроскоп» Б. Ламлі.

Фігурує вона і в оповіданнях «Стіна темряви» Артура Кларка, «На стрічці Мебіуса» М. Кліфтона та «Аркуш Мебіус» А. Дж. Дейча. За мотивами останнього режисером Густаво Москера було знято фантастичну кінокартину «Мебіус».

Робимо самі, своїми руками!

Якщо вас зацікавила стрічка Мебіуса, як зробити її модель, вам підкаже невелика інструкція:

1. Для виготовлення її моделі знадобляться:

Аркуш звичайного паперу;

Ножиці;

Лінійка.

2. Відрізаємо смугу від аркуша паперу так, щоб її ширина була в 5-6 разів менша за довжину.

3. Отриману паперову смужку розкладаємо на рівній поверхні. Один кінець притримуємо рукою, а інший повертаємо на 1800 так, щоб смуга перекрутилася і виворот став лицьовою стороною.

4. Склеюємо кінці перекрученої лінії так, як показано на малюнку.

Стрічка Мебіуса готова.

5. Візьміть ручку або маркер і почніть малювати доріжку посередині стрічки. Якщо ви зробили все правильно, то повернетеся в ту саму точку, звідки почали креслити лінію.

Для того щоб отримати наочне підтвердження того, що стрічка Мебіуса – односторонній об'єкт, олівцем або ручкою спробуйте зафарбувати будь-яку її сторону. Через деякий час ви побачите, що зафарбували її повністю.

джерела

Техніка – молоді 1984-09, сторінка 65

Арндт Анастасія

У роботі розглядається історія відкриття аркуша Мебіуса та експерименти, які можна провести з аркушем Мебіуса.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа

«Веснянська середня загальноосвітня школа»

Різдвяні читання

Номінація: «Точні науки»

Секрети листа Мебіуса

Арндт Анастасія

Учениця 5 класу

Керівник:

Арндт Ірина

Василівна,

Вчитель математики

с. Весняне

2014

Вступ. ………………………………………………………..…..…..… з. 3

Глава I. Історична довідка. .....…………………………………....... з. 3-4

Розділ II. Аркуш Мебіуса. ………………………………………….....…….с. 4-9

§1. Виготовлення листа Мебіуса. ………………………………........…..с. 4

§2. Експерименти з листом Мебіуса. ……..………………………........с. 4-6

§3. Застосування аркуша Мебіуса у житті. ………………………….....… с.7-9

Висновок. ………………………………………..…………………........с. 9

Література ……………………………………………………………..….с. 10

Вступ.

У кожного з нас є інтуїтивне уявлення про те, що таке "поверхня". Поверхня аркуша паперу, поверхня стін класу, поверхня земної кулі відомі всім. Чи може бути щось несподіване і навіть таємниче у такому звичному понятті? Прімерліста Мебіуса показує, що може. Багато хто знає, що таке стрічка (лист) Мебіуса. Тим, хто ще не знайомий з дивовижним листом, який відноситься до «математичних несподіванок», ми пропонуємо разом з нами провести дослідження і поринути у світле почуття пізнання.

Мене дуже зацікавила ця тема. Я вирішила поглибити свої знання у цій галузі.

Мета моєї роботи: дослідити лист Мебіуса як один із об'єктів топології.

Завдання: - зібрати різноманітну інформацію про лист Мебіуса;

Дослідити дослідним шляхом властивості аркуша Мебіуса;

Показати застосування стрічки Мебіуса у житті.

Глава I. Історична довідка.

Таємнича та знаменитаСтрічка Мебіуса була виявлена незалежно німецькими математиками Августом Фердинандом Мебіусом та Йоганном Бенедиктом Лістінгом у 1858 році.

Серпень Фердинанд Мебіус(1790-1868), народився місті Шульпфорте, німецький геометр, учень «короля математиків» знаменитого К.Ф. Гауса. Мебіус був спочатку астрономом. Професор Лейпцизького університету з 1816 року. Почав вести самостійні астрономічні спостереження Плейсенбургской обсерваторії, в 1818г. став її директором. Працюючи у спокійній усамітненні, Мебіус зробив багато цікавих відкриттів, він став одним із найбільших геометрів ХІХ ст. У віці 68 років йому вдалося зробити відкриття вражаючої краси. Це було відкриття односторонніх поверхонь, одна з яких – лист Мебіуса. Це була найзначніша подія в його житті!

Розповідають, що відкрити свій “лист” Мебіусу допомогла служниця, яка зшила неправильно кінці стрічки.

В історії нерідко бувають випадки, коли одна ідея спадає на думку одночасно кільком винахідникам. Так трапилося і зі стрічкою Мебіуса.

Того ж 1858 року ідея стрічки прийшла і до іншого вченого, учня К.Ф. Гаусса –Йоганну Бенедикту Лістінгу(1808-1882), німецькому математику та фізику, професору Геттінгенського Університету. Він дав назву науці, що вивчає безперервність, -топологія.

Топологія вивчає властивості геометричних фігур, які змінюються, якщо їх гнути, розтягувати, стискати. Першість у відкритті топологічного об'єкта – стрічки дісталося Августу Мебіусу.

Що ж уразило цих двох німецьких професорів? А те, що у аркуша Мебіуса – лише одна сторона.

Розділ II. Аркуш Мебіуса.

§1. Виготовлення листа Мебіуса.

Лист Мебіуса дуже легко зробити, потримати в руках, розрізати, поекспериментувати якось ще. Вивчення аркуша Мебіуса – гарне введення до елементів топології.

Лист Мебіуса належить до математичних несподіванок. Щоб виготовити лист Мебіуса, візьмемо прямокутну смужку АВВ 1 А 1 , перекрутимо її на 180 градусів і склеїмо протилежні сторони АВ та А 1 В 1 , тобто. так, що суміщаються точки А та В 1 та точки А 1 і В.

Отримаємо перекручене кільце.І запитуємо: скільки сторін у цього шматка паперу? Дві, як у будь-якого іншого? Ні. У нього одна сторона. Не вірите?

§2.Експерименти з листом Мёбіуса.

Щоб вивчити його властивості, я провела кілька дослідів, які розділила на дві групи:

І група.

Досвід №1 . Почала фарбувати листок Мебіуса, не перевертаючи його.

Результат. Аркуш Мебіуса зафарбувався повністю.

"Якщо хто-небудь надумає розфарбувати тільки один бік поверхні мебіусової стрічки, нехай відразу занурить її всю у відро з фарбою", - пише Ріхард Курант і Герберт Робінс у чудовій книзі "Що таке математика?"

Досвід №2.

Уявіть собі, що стрічкою Мебіуса подорожує чоловічок - перевертень, то пройшовши весь шлях, він повернеться у вихідну точку. При цьому він обійде обидві поверхні – зовнішню та внутрішню, не перетинаючи ребра.Це доводить, щострічка Мебіуса є односторонньою поверхнею. Він повернувся до місця старту. Але у якому вигляді! У перевернутому!

А щоб він повернувся до старту в нормальному становищі, йому потрібно здійснити ще одну «круголисту» подорож. У аркуша Мебіуса - лише одна сторона!

II група Дослідів пов'язана з розрізанням листа Мебіуса.

Я провела низку експериментів, результати яких занесла до таблиці.

досвіду	Опис досвіду	Результат
	Просте кільце розрізали посередині вздовж.	Отримали два простих кільця, такої ж довжини, завширшки вдвічі вже.
	Аркуш Мебіуса розрізали посередині вздовж.	Отримали 1 кільце, довжина якого вдвічі більша, ширина вдвічі вже, перекручена на 1 повний оборот.
	Розрізати стрічку Мебіуса, відступаючи від краю приблизно на третину її ширини.	Виходять дві стрічки, одна більш коротка стрічка Мебіуса, інша - довга стрічки з двома напівоборотами.
	Стрічку шириною 4см розділити на чотири рівні частини, починати розрізати, відступивши від краю 1 см.	Виходять дві стрічки, одна – рівна довжині вихідної, інша – довга.
	Лист Мёбіуса шириною 5 см розрізати вздовж на відстані 1 см від краю.	Вийде два зчеплені один з одним кільця: лист Мебіуса шириною 3 см, довжиною рівною довжині вихідного і шириною 1 см, довжина вдвічі більша за вихідний, перекручена на два повні обороти.
	Склеїти лист Мебіуса, перекрутивши його двічі.	Отримаємо два листи Мебіуса, зчеплених один з одним.

Ось такі несподівані речі відбуваються із простою паперовою смужкою, якщо склеїти з неї листок Мебіуса.

§3. Застосування аркуша Мебіуса у житті.

Займаючись цією роботою, я дійшла висновку, що хоча лист Мебіуса відкрили ще в XX столітті, він актуальний і в XX столітті, і в XXΙ.

Дивовижні властивості листа Мёбіуса застосовувалися та використовуються у техніці, фізиці, оптиці. Надихав він на творчість багатьох письменників та художників.

Цікаво, що лист Мебіуса і зараз продовжує розбурхувати уми винахідників. У багатьох країнах світу запатентовано його основі дивовижні механізми.

Аркуш Мебіуса в техніці та фізиці

На магнітних стрічках, закручених Мебіусом, обсяг записуваної інформації збільшується вдвічі іпрограється вдвічі довше.Було створено особливі касети, які дали можливість слухати їх із «двох сторін» не міняючи місцями.

Ця стрічка відмінно працює при обв'язуванні та перенесенні вантажів у портах. Стрічки конвеєрів для переміщення гарячих матеріалів, якщо їх вивернути Мебіус, будуть по черзі «відпочивати» від розпечених матеріалів. У результаті охолодження стрічки покращується, а стрічка поступово зношується, отже, і служити вона буде довше.Це дає відчутну економію.

Аркуш Мебіуса в природі та в житті.

Є гіпотеза, що спіраль ДНК сама по собі теж є фрагментом стрічки Мебіуса і тому генетичний код такий складний для розшифровки і сприйняття. Більше того - така структура цілком логічно пояснює причину настання біологічної смерті - спіраль замикається сама на себе і відбувається самознищення.

Аркуш Мебіуса в мистецтві.

Таємнича стрічка Мебіуса завжди розбурхувала уми письменників, художників і скульпторів. Аркуш Мебіуса служив натхненням для скульптур та для графічного мистецтва. Ешер був одним із художників, хто особливо любив його і присвятив кілька своїх літографій цьому математичному об'єкту. Одна з відомих показує мурах, що повзають по поверхні аркуша Мебіуса.

Широко відомі його малюнки із зображенням стрічка Мёбиуса.

Дуже цікаві пам'ятники, присвячені стрічці Мебіуса.

Вулиці багатьох міст прикрашають скульптури на тему стрічки Мебіуса.

Ювеліри присвятили свої роботи стрічці Мебіуса.

Лист Мёбіуса зображують на різних емблемах, зображений на значку механіко-математичного факультету Московського університету.

Міжнародний символ переробки також є Ліст Мебіуса.

Крім того ім'ям Мебіуса названо кратера на звороті Місяця.

Архітектори використовують стрічку Мебіуса у новаторських формах. Так, наприклад, виглядає неймовірний проект нової бібліотеки в Астані (Казахстан).

Висновок.

Лист Мёбіуса має багато цікавих властивостей.

Аркуш Мебіуса має один край.
Аркуш Мебіуса має одну сторону.
Аркуш Мебіуса – топологічний об'єкт. Як і будь-яка топологічна фігура, стрічка Мебіуса не змінює своїх властивостей, поки її не розрізають, не розривають або склеюють окремі шматки.
Один край і одна сторона аркуша Мебіуса не пов'язані з його положенням у просторі, не пов'язані з поняттями відстані.

Аркуш Мебіуса – перша одностороння поверхня, яку відкрили. Пізніше математики відкрили цілу низку односторонніх поверхонь. У цій роботі я намагалася описати властивості прекрасної поверхні – аркуша Мебіуса, показати його значущість на практиці, довести, що аркуш Мебіуса – топологічна фігура.

Незважаючи на те, що Мебіус зробив своє дивовижне відкриття дуже давно, воно дуже популярне і в наші дні:

у математиків- йдуть подальші дослідження;
у школярів – дуже цікаво експериментувати зі стрічкою Мебіуса;
у техніці – відкриваються нові способи використання стрічки Мёбиуса.

Мною не вичерпано дослідів з листом Мебіуса. Вони нескінченні, цікаві і залежить від свого терпіння. Надалі я планую продовжити дослідження цього непередбачуваного аркуша.

Література

Волошинов А.В., "Математика та мистецтво" М.: "Освіта", 1996р.
Газета «Математика» додаток до видавничого дому «Перше вересня», №14 1999, № 24 2006р.
Гарднер М. "Математичні чудеса і таємниці", "Наука" 1978р.
Гусєв В.А., Комбаров А.П. "Математична розминка" М.: "Освіта", 1986р.
Інтернет - ресурси сайту:http://ua.wikipedia.
Кордемський Б. А. Топологічні досліди своїми руками. Квант, 1974 №3.

Уявимо собі поверхню і мурашки, що сидить на ній. Чи вдасться мурашці доповзти до зворотного боку поверхні - образно кажучи, до її вивороту - не перелазячи через край? Звичайно ж ні!

Серпень Фердинанд Мёбіус (1790-1868)

Перший приклад односторонньої поверхні, у будь-яке місце якої може доповзти мурашка, не перелазячи через край, навів Мебіус в 1858р.

Стрічка Мебіуса, яку також називають петлею, поверхнею або листом, – це об'єкт вивчення такої математичної дисципліни, як топологія, що досліджує загальні властивості фігур, що зберігаються при таких безперервних перетвореннях, як скручування, розтягування, стиснення, згинання та інші, не пов'язані з порушенням цілісності . Дивовижною і неповторною особливістю такої стрічки є те, що він має лише одну сторону і край і ніяк не пов'язані з її розташуванням у просторі. Лист Мебіуса є топологічним, тобто безперервним об'єктом із найпростішою односторонньою поверхнею з кордоном у звичайному Евклідовому просторі (3-мірному), де можливо з однієї точки такої поверхні, не перетинаючи краю, потрапити до будь-якої іншої.

Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868) – учень «короля» математиків Гауса. Мебіус був спочатку астрономом, як Гаус і багато інших, кому математика зобов'язана своїм розвитком. У ті часи заняття математикою не зустрічали підтримки, а астрономія давала достатньо грошей, щоб не думати про них, і залишала час для власних роздумів. І Мебіус став одним із найбільших геометрів XIX століття.

У віці 68 років Мебіус вдалося зробити відкриття вражаючої краси. Це відкриття односторонніх поверхонь, одна з яких лист Мебіуса (або стрічка). Мебіус придумав стрічку, коли спостерігав за покоївкою, що неправильно одягла на шию свою хустку.
У Евклідовому просторі фактично існує два типи стрічки Мебіуса, розгорнутої впівобороту: одна - розгорнута за годинниковою стрілкою, інша - проти годинникової стрілки.

1. Наявність однієї сторони. А. Мебіус у своїй праці «Про обсяг багатогранників» описав геометричну поверхню, названу потім на його честь, що володіє лише однією стороною. Перевірити це досить просто: беремо стрічку або лист Мебіуса і намагаємося зафарбувати внутрішній бік одним кольором, а зовнішню – іншим. Не має значення, де і напрямі було розпочато фарбування, вся фігура буде зафарбована одним кольором.
2. Безперервність виявляється у тому, що будь-яку точку цієї геометричної фігури можна з'єднати з будь-якою іншою її точкою, не перетинаючи межі поверхні Мебіуса.
3. Зв'язність, або двомірність, полягає в тому, що при розрізанні стрічки вздовж, з неї не вийде кілька різних фігур, і вона залишається цільною.

4. У ній немає такої важливої властивості, як орієнтованість. Це означає, що людина, яка йде по цій фігурі, повернеться до початку свого шляху, але тільки у дзеркальному відображенні самого себе. Таким чином, нескінченна стрічка Мебіуса може призвести до вічної подорожі.
5. Особливий хроматичний номер, що показує, яка максимально можлива кількість областей на поверхні Мебіуса, можна створити так, щоб будь-яка з них мала спільний кордон з усіма іншими. Стрічка Мебіуса має хроматичний номер – 6, а от кільце з паперу – 5.

Сьогодні лист Мебіуса та його властивості широко застосовуються в науці, служачи основою для побудови нових гіпотез та теорій, проведення досліджень та експериментів, створення нових механізмів та пристроїв. Так, існує гіпотеза, за якою Всесвіт - це величезна петля Мебіуса. Побічно про це свідчить і теорія відносності Ейнштейна, згідно з якою навіть корабель, що полетів прямо, може повернутися в ту ж тимчасову і просторову точку, звідки стартував.

Інша теорія розглядає ДНК як частину поверхні Мебіуса, що пояснює складнощі з прочитанням та розшифровкою генетичного коду. До того ж, така структура дає логічне пояснення біологічної смерті – замкнута на собі спіраль призводить до самознищення об'єкта. На думку фізиків, багато оптичних законів ґрунтуються на властивостях листа Мебіуса. Так, наприклад, дзеркальне відображення – це особливе перенесення у часі і людина бачить перед собою свого дзеркального двійника.

Якщо вас зацікавила стрічка Мебіуса, як зробити її модель, вам підкаже невелика інструкція:
1. Для виготовлення її моделі знадобляться: - аркуш звичайного паперу;
- ножиці;
- Лінійка.
2. Відрізаємо смугу від аркуша паперу так, щоб її ширина була в 5-6 разів менша за довжину.
3. Отриману паперову смужку розкладаємо на рівній поверхні. Один кінець притримуємо рукою, а інший повертаємо на 180* так, щоб смуга перекрутилася і виворот став лицьовою стороною.
4. Склеюємо кінці перекрученої лінії так, як показано на малюнку.

Стрічка Мебіуса готова.
5. Візьміть ручку або маркер і почніть малювати доріжку посередині стрічки. Якщо ви зробили все правильно, то повернетеся в ту саму точку, звідки почали креслити лінію.

Аркуш Мебіуса служив натхненням для скульптур та для графічного мистецтва. Ешер був одним із художників, хто особливо любив його і присвятив кілька своїх літографій цьому математичному об'єкту. Одна з відомих - «Лист Мебіуса II», показує мурах, що повзають поверхнею стрічки Мебіуса.

Лист Мёбіуса є символом серії науково-популярних книг серії «Бібліотечка „Квант“». Він також постійно зустрічається у науковій фантастиці, наприклад, у оповіданні Артура Кларка «Стіна темряви». Іноді науково-фантастичні оповідання (слід за фізиками-теоретиками) припускають, що наш Всесвіт може бути деяким узагальненим листом Мебіуса. Також кільце Мебіуса постійно згадується у творах уральського письменника Владислава Крапівіна, цикл «У глибині Великого Кристала» (наприклад, «Застава на Якірному Полі. Повість»). У оповіданні «Аркуш Мебіуса» автора А. Дж. Дейча, бостонське метро будує нову лінію, маршрут якої стає настільки заплутаним, що перетворюється на стрічку Мебіуса, після чого на цій лінії починають зникати потяги. За мотивами оповідання було знято фантастичний фільм «Мебіус» режисера Густаво Москера. Також ідея стрічки Мебіуса використовується в оповіданні М. Кліфтона "На стрічці Мебіуса".

Стрічка Мёбіуса використовується як спосіб переміщення у просторі та часі Гаррі Кіфа, головного героя роману Брайана Ламлі «Некроскоп».

Стрічка Мёбіуса відіграє важливу роль у фантастичному романі Р. Желязни «Двері в піску».

У книзі Е. Наумова «Напіврозпад» (1989) інтелігент-алкоголік подорожує країною, стаючи на стрічку Мебіуса.

Зі стрічкою Мебіуса порівнюється перебіг роману сучасного російського письменника Олексія Шепелєва «Echo». З анотації до книги: "„Echo" - літературна аналогія кільця Мёбиуса: дві сюжетні лінії - "хлопчиків" і "дівчаток" - переплітаються, перетікають один в одного, але не перетинаються».

Стрічка Мебіуса також зустрічається в есе Харукі Муракамі «Обладі Облада» з книги-збірки «Радіо Муракамі», випущеної у 2010 році, де стрічка Мебіуса образно порівнюється з нескінченністю.

У візуальній новелі CHARON "Makoto Mobius" головний герой Ватаро намагається врятувати однокласницю від смерті, використовуючи магічний артефакт – стрічку Мебіуса.

1987 року радянський джазовий піаніст Леонід Чижик записав альбом «Стрічка Мебіуса», до якого увійшла й однойменна композиція.

Гоночний трек в одному з епізодів (7 сезон 14 серія, 11 хвилина) мультсеріалу «Футурама» є стрічкою Мебіуса.

Існують технічні застосування стрічки Мебіуса. Смуга стрічкового конвеєра, виконана у вигляді стрічки Мебіуса, працюватиме довше, тому що вся поверхня стрічки зношується рівномірно. Також у системах запису на безперервну плівку застосовуються стрічки Мебіуса (щоб подвоїти час запису). У багатьох матричних принтерах барвник також має вигляд стрічки Мебіуса для збільшення її ресурсу.

Також над входом до інституту ЦЕМІ РАН знаходиться мозаїчний горельєф «Стрічка Мебіуса» роботи архітектора Леоніда Павлова у співавторстві з художниками Е. А. Жареновою та В. К. Васильцовим (1976)

Архітетурні рішення з використанням ідеї стрічки Мебіуса:

Ювелірні прикраси у вигляді стрічки Мебіуса:

Існують технічні застосування стрічки Мебіуса. Смуга стрічкового конвеєра виконується у вигляді стрічки Мебіуса, що дозволяє йому працювати довше, тому що вся поверхня стрічки зношується рівномірно. Також у системах запису на безперервну плівку застосовуються стрічки Мебіуса (щоб подвоїти час запису). Багато матричних принтерах барвна стрічка також має вигляд листа Мёбиуса збільшення її ресурсу.

Пристрій під назвою резистор Мебіуса - це нещодавно винайдений електронний елемент, який не має власної індуктивності. Ще застосовуються стрічки Мебіуса в системах запису на безперервну плівку (щоб подвоїти час запису), у матричних принтерах барвна стрічка також мала вигляд листа Мебіуса збільшення терміну придатності.

Чарівна, нереальна – це все епітети, якими можна нагородити стрічку Мебіуса. Одну з найбільших загадок сьогодення. Можливо, саме стрічка Мебіуса приховує в собі загадки взаємодії всього, що існує в нашому Всесвіті. У цієї фігури є загадкові властивості і цілком реальні сфери застосування.

Стрічка Мебіуса є однією з незвичайних геометричних фігур. Незважаючи на її незвичність, її легко зробити у домашніх умовах.

Стрічка Мебіуса – це тривимірна неорієнтована фігура з одним кордоном та стороною. Цим вона унікальна та відмінна від усіх інших предметів, які можуть зустрітися у повсякденному житті. Стрічку Мебіуса також називають листом Мебіуса та поверхнею Мебіуса. Вона відноситься до топологічних об'єктів, тобто безперервних об'єктів. Такі об'єкти вивчає топологія – наука, що досліджує безперервність середовища та простору.

Інтерес викликає вже відкриття стрічки. Два математики, незв'язані між собою, відкрили її в тому самому 1858 році. Цими відкривачами були Август Фердинанд Мебіус та Йоган Бенедикт Лістинг.

Умовно розрізняють стрічки за способом згортання: за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки. Їх ще називають права та ліва. Але розрізнити "на око" вигляд стрічки неможливо.

Зробити таку фігуру дуже просто: треба взяти стрічку ABCD. Згорнути її так, щоб з'єднати точки A і D, і С, склеїти з'єднані кінці.

Дехто вважає, що ця загадкова геометрична фігура - прообраз перевернутої вісімки-нескінченності, насправді це не так. Цей символ було введено для використання набагато раніше, ніж було відкрито стрічку Мебіуса. Але подібність сенсу цих постатей безперечно є. Містики називають стрічку Мебіуса символом двоїстого сприйняття єдиного. Стрічка Мебіуса ніби говорить про взаємопроникнення, взаємопов'язаність і нескінченність всього в нашому світі. Недарма, її часто використовують як емблеми та товарні знаки. Наприклад, міжнародний символ переробки виглядає як стрічка Мебіуса. Стрічка Мебіуса може бути своєрідною ілюстрацією деяких явищ у природі, наприклад, круговороту води.

Стрічка Мебіуса має характерні властивості, вони не змінюються, якщо стрічку стискати, стукати або різати вздовж.

До цих властивостей відносяться:

Однобічність. Якщо взяти стрічку Мебіуса і почати зафарбовувати в будь-якому її місці та напрямку, то поступово вся фігура буде зафарбована цілком, при цьому фігуру не потрібно буде перевертати.
Безперервність. Кожну точку цієї фігури можна з'єднати з іншою її точкою, причому жодного разу не виходячи за краї стрічки.
Двозв'язність (або двовимірність). Стрічка залишається цільною, якщо різати її вздовж. З неї не вийдуть у цьому випадку дві різні фігури.
Відсутність орієнтованості. Якщо уявити, що людина могла б йти по цій фігурі, то при поверненні в точку початку подорожі, вона б перетворювалася на своє відображення. Подорож аркушем нескінченності могла б продовжуватися вічно.

Якщо взяти ножиці і трішки почаклувати над цією загадковою поверхнею, то вдасться створити додаткові незвичайні фігури. Якщо різати її вздовж, по лінії, віддаленій від країв на рівній відстані, то вийде закручена «Афганська стрічка». Якщо отриману стрічку розділити вздовж, посередині, то утворюються дві стрічки, що взаємопроникають одна в одну. Якщо покласти один на одного кілька смужок і з'єднати в стрічку Мебіуса, якщо таку фігуру розгорнути, знову вийде «Афганська стрічка».

Якщо розрізати стрічку Мебіуса з трьома або великою кількістю напівоборотів, то вийдуть кільця, які називаються парадромними.

Якщо склеїти разом дві стрічки Мебіуса вздовж кордонів, то вийде інша дивовижна постать – пляшка Кляйна, але її не можна зробити у звичайному тривимірному просторі.

Якщо згладити деякі грані аркуша Мебіуса, то вийде неможливий трикутник Пенроуза. Це плаский трикутник-ілюзія, коли дивишся на нього, він здається об'ємним.

Аркуш Мебіуса – невичерпне джерело для творчості письменників, художників та скульпторів. Його згадка часто зустрічається у фантастичній та містичній літературі. На його властивостях ґрунтувалися художні вигадки про виникнення Всесвіту, влаштованість потойбіччя, пересування в часі та просторі. Аркуш Мебіуса згадували у своїх творах Артур Кларк, Владислав Крапівін, Хуліо Кортасар, Харукі Муракамі та багато інших.

Відомим художником Ешером було створено низку літографій із використанням стрічки. На найвідомішій його роботі мурахи повзуть листом Мебіуса.

Властивості стрічки Мебіуса дозволять показати цікаві фокуси. Розглянемо один із найвідоміших. Підвішуються дві стрічки Мебіуса із калійної селітри, маг стосується запаленої сигаретою до середньої лінії кожної з них. Полум'я, що розгорілося, подовжить першу стрічку, а другу перетворить на дві, пов'язані один з одним. У формі стрічки Мебіуса зроблено найпопулярніший атракціон «Американські гірки». Часто використовують цю геометричну фігуру ювеліри під час створення дизайну коштовностей.

Стрічку Мебіуса широко застосовують у науці та промисловості. Вона є джерелом для багатьох наукових досліджень та гіпотез. Існує, наприклад, теорія, що ДНК – це частина аркуша Мебіуса. Дослідники в галузі генетики вже навчилися розрізати одноланцюгову ДНК так, щоб отримати з неї стрічку Мебіуса. Фізики свідчать, що оптичні закони базуються на властивостях листа Мебіуса. Наприклад, відображення у дзеркалі – це свого роду пересування у часі за аналогічною траєкторією. Є наукова гіпотеза у тому, що Всесвіт – це гігантська стрічка Мебіуса.

На початку 20 століття Нікола Тесла винайшов резистор Мебіуса, який протистоїть потоку електроенергії, не викликаючи електромагнітних перешкод. Він складається з двох провідних поверхонь, які скручені на 180° та утворюють стрічку Мебіуса.

Смуга стрічкового конвеєра (транспортуючої машини безперервної дії) зроблена у формі стрічки Мебіуса. Така поверхня дозволяє збільшити термін використання стрічки, оскільки її зношування відбуватиметься рівномірно. Використовують форму стрічки Мебіуса та при записі на безперервну плівку.

Лист Мебіуса застосовувався в матричних принтерах для продовження терміну придатності фарбуючої стрічки.

На основі стрічки Мебіуса створено абразивне кільце у механізмах для заточування, працює автоматична передача.

В даний час багато винахідників користуються властивостями даної стрічки для проведення експериментів та створення нових пристроїв.

Стрічка Мебіуса продовжує викликати стійкий інтерес, не лише у математиків та винахідників, а й у звичайних людей. Вона надихає митців на створення загадкових творів і фантастичних теорій. Експерименти з цією цікавою фігурою – захоплююче заняття як для дорослої, так і для дитини. Її властивості знайшли своє застосування у науці, техніці та у побуті. Стрічка Мебіуса - це цікава математична загадка, що приховує в собі сенс ідеалістичного розуміння устрою Всесвіту, його вплив на наше життя можна вивчати нескінченно.

Стрічка Мебіуса (петля Мебіуса, лист Мебіуса)— проста на вигляд фігура, але математик сказав би, що це двовимірна поверхня з дивовижними властивостями: у неї тільки один бік і один край, на відміну від звичайного кільця, яке можна згорнути з тієї ж смужки, що й стрічку Мебіуса, але в нього буде дві сторони та два краї. У цьому легко переконатися, якщо намалювати лінію посередині стрічки, не відриваючи олівець від паперу, доки не повернетесь у вихідну точку. Дивно, але факт: за рахунок півоберта смужки її верхній і нижній краї об'єдналися в одну безперервну лінію, а дві сторони перетворилися на єдине ціле і стали однією стороною. І ось результат: потрапити з однієї точки стрічки Мебіуса до будь-якої іншої можна, не переходячи через край.

Біг стрічкою Мебіуса

Для стороннього спостерігача подорож по стрічці Мебіуса є «бігом по колу», сповненим несподіванок. Його наочно зобразив голландський художник-графік Мауріц Ешер (1898-1972). На картині «Стрічка Мебіуса II» у ролі мурах. Простеживши їх рухом, можна зробити цікаве відкриття. Здійснивши один оборот по стрічці, кожна мурашка опиниться у вихідній точці, але вже в положенні антипода, — візуально він буде «по той бік» стрічки головою вниз. А що станеться з двовимірною істотою, що рухається стрічкою Мебіуса? Обійшовши поверхню, воно перетвориться на своє дзеркальне відображення (це легко уявити, якщо вважати стрічку прозорою). Щоб стати самим собою, двовимірній істоті доведеться зробити ще одне коло. От і мурашку треба двічі пройти стрічкою Мебіуса, щоб повернутися в початкове положення.

Науковий курйоз чи корисне відкриття

Стрічку Мебіуса часто називають математичним курйозом. Та й сама її поява приписують нагоди. За легендою, стрічку вигадав один німецький учений, коли побачив на покоївці неправильно пов'язану шийну хустку. Це був відомий математик і астроном учень Карла Фрідріха Гауса. Односторонню поверхню з єдиним краєм він описав ще 1858 року, але стаття була опублікована за його життя. У тому ж році незалежно від Мебіуса аналогічне відкриття зробив Йоганн Лістинг, ще один учень Гауса.

Стрічку все ж таки назвали на честь Мебіуса. Вона стала одним з перших об'єктів топології - науки, що вивчає найбільш загальні властивості фігур, а саме такі, які зберігаються при безперервних (без розрізів і склеєк) перетвореннях: розтягуванні, здавлюванні, згинанні, скручуванні тощо. Ці перетворення нагадують деформації фігур з гуми, тому топологію інакше називають «гумової геометрією». Окремі топологічні завдання вирішував ще XVIII столітті Леонард Ейлер. Початок нової галузі математики поклала робота Лістингу «Попередні дослідження з топології» (1847) — перша систематична праця з цієї науки. Він же вигадав термін «топологія» (від грецьких слів τόπος - місце і λόγος - Вчення).

Стрічку Мебіуса можна було б вважати науковим курйозом, черговою примхою математиків, якби вона не знайшла практичного застосування і не надихала людей мистецтва. Її неодноразово зображали художники, їй ставили пам'ятники скульптори і присвячували свої твори письменники. Ця незвичайна поверхня сподобалася архітекторам, дизайнерам, ювелірам і навіть виробникам одягу та меблів. На неї звернули увагу винахідники, конструктори, інженери (наприклад, ще в 1920-х роках було запатентовано аудіо- та кіноплівки у формі стрічки Мебіуса, що дозволяють подвоїти тривалість запису). Але найчастіше з цією стрічкою мають справу фокусники: їх приваблюють незвичайні властивості, що виявляються при її розрізанні. Так, якщо розрізати стрічку Мебіуса по середній лінії, вона не розпадеться на дві частини, як можна очікувати. З неї вийде вужча і довга двостороння стрічка, перекручена двічі (подібну форму має конструкція атракціону «Американські гірки»). А ось «кулінарний фокус»: тістечка у вигляді стрічки Мебіуса здадуться смачнішою за звичайні, адже на них можна намазати вдвічі більше крему! Крім того, є цікаві архітектурні проекти будівель, виконані у стилі стрічки Мебіуса. Поки що вони існують тільки на папері, але, хочеться вірити, обов'язково будуть реалізовані.

«Двозначне» становище

Своїми властивостями стрічка Мебіуса справді нагадує об'єкт із Задзеркалля. Та й сама вона, будучи асиметричною фігурою, має дзеркальний двійник. Відправимо прогулятися вздовж стрічки відбиток правої ступні і невдовзі виявимо, що додому повернеться відбиток лівої ступні. Смішно, правда? І коли лише «праве» встигло стати «лівим»? «Вмонтуємо» у стрічку двомірний годинник і змусимо його здійснити по ній повний оборот. Поглянувши на годинник, ми побачимо, що стрілки на циферблаті рухаються з тією ж швидкістю, але у зворотний бік! І який із двох напрямків руху правильний?

Поки ви думаєте над відповіддю, зауважу, що математик запропонував би витончений вихід навіть із цього «двозначного» становища. Потрібно, щоб, по-перше, годинник завжди показував один і той же час, а по-друге, стрілки на циферблаті були в положенні, яке збереглося б при дзеркальному відображенні, наприклад, стояли вертикально, утворюючи розгорнутий кут.

Ну що, перевіримо відповідь? Насправді на стрічці Мебіуса не можна встановити певний напрямок обертання. Один і той же рух можна сприймати і як поворот за годинниковою стрілкою, і як поворот у протилежному напрямку. Коли довільно обрана на стрічці Мебіуса точка обходить її, один напрямок безперервно перетворюється на інший. У цьому «праве» невловимо змінюється «лівим». Двовимірна істота жодних змін у собі не помітить. Зате їх побачать інші такі ж істоти і, звичайно, ми, які спостерігають за тим, що відбувається з іншого виміру. Ось така вона непередбачувана, одностороння поверхня Мебіуса.

Головна > Особистість