Kokias figūras galima padaryti iš Mobius lapo. Mobius juostelė – nuostabus atradimas

Mobiuso juosta yra topologinė, tai yra ištisinis objektas, turintis paprasčiausią vienpusį paviršių su riba įprastoje euklido erdvėje (trimatėje), kur iš vieno tokio paviršiaus taško galima patekti į bet kurį kitą be kirtimo. kraštus.

Kas atidarė ir kada?

Toks sudėtingas objektas kaip Möbius juosta buvo aptiktas gana neįprastu būdu. Pirmiausia pastebime, kad du matematikai, visiškai nesusiję vienas su kitu savo tyrinėjimuose, jį atrado vienu metu – 1858 m. Kitas įdomus faktas yra tai, kad abu šie mokslininkai skirtingais laikais buvo to paties didžiojo matematiko – Johano Carlo Friedricho Gauso – mokiniai. Taigi, iki 1858 m. buvo manoma, kad bet koks paviršius turi turėti dvi puses. Tačiau Johanas Benedictas Listingas ir Augustas Ferdinandas Möbiusas atrado geometrinį objektą, kuris turėjo tik vieną pusę ir apibūdina jo savybes. Juostelė buvo pavadinta Möbius vardu, tačiau topologai mano, kad Listingas ir jo darbas „Preliminarūs topologijos tyrimai“ yra „gumos geometrijos“ pradininkas.

Savybės

Möbius juostelė pasižymi šiomis savybėmis, kurios nekinta ją suspaudžiant, perpjaunant išilgai ar suglamžant:

2. Tęstinumas išreiškiamas tuo, kad bet kuris šios geometrinės figūros taškas gali būti sujungtas su bet kuriuo kitu tašku, neperžengiant Mobiuso paviršiaus ribų.

3. Ryškumas, arba dvimatiškumas, slypi tame, kad perpjaunant juostą išilgai iš jos neišsisuks kelios skirtingos formos, ji išlieka vientisa.

5. Specialus chromatinis skaičius, rodantis didžiausią įmanomą plotų skaičių Mobiuso paviršiuje, kurį galima sukurti taip, kad bet kuri iš jų turėtų bendrą ribą su visais kitais. Möbius juostelės chromatinis skaičius yra 6, o popierinio žiedo chromatinis skaičius yra 5.

Mokslinis naudojimas

Taigi, yra hipotezė, pagal kurią Visata yra didžiulė Mobiuso kilpa. Tai netiesiogiai liudija Einšteino reliatyvumo teorija, pagal kurią net tiesiai skrendantis laivas gali grįžti į tą patį laiko ir erdvės tašką, iš kurio ir pradėjo.

Anot fizikų, daugelis optinių dėsnių yra pagrįsti Mobiuso juostos savybėmis. Taigi, pavyzdžiui, veidrodinis atspindys yra ypatingas perkėlimas laike ir žmogus savo veidrodį mato dvigubai priešais save.

Įgyvendinimas praktikoje

Mobius juosta jau seniai naudojama įvairiose pramonės šakose. Didysis išradėjas Nikola Tesla amžiaus pradžioje išrado Mobius rezistorių, sudarytą iš dviejų laidžių paviršių, susuktų į 1800 m., kuris gali atsispirti elektros srovės tėkmei nesukeldamas elektromagnetinių trukdžių.

Remiantis Mobius juostos paviršiaus ir jo savybių tyrimais, buvo sukurta daug prietaisų ir instrumentų. Jo forma pakartojama kuriant konvejerio juostas ir rašalo juosteles spausdinimo įrenginiuose, abrazyvinius diržus įrankių galandimui ir automatiniams perkėlimams. Tai leidžia žymiai padidinti jų tarnavimo laiką, nes nusidėvėjimas vyksta tolygiau.

Neseniai nuostabios Mobius juostos savybės leido sukurti spyruoklę, kuri, skirtingai nei įprastos priešinga kryptimi šaudančios spyruoklės, nekeičia veikimo krypties. Jis naudojamas vairo pavaros stabilizatoriuje, užtikrinančiame vairo grįžimą į pradinę padėtį.

Be to, Möbius juostos ženklas naudojamas įvairiuose prekės ženkluose ir logotipuose. Garsiausias iš jų yra tarptautinis perdirbimo simbolis. Jis dedamas ant prekių, kurios yra perdirbamos arba pagamintos iš perdirbtų išteklių, pakuočių.

Kūrybinio įkvėpimo šaltinis

Möbius juosta ir jos savybės sudarė daugelio menininkų, rašytojų, skulptorių ir kino kūrėjų kūrybos pagrindą. Žymiausias menininkas, panaudojęs juostą ir jos bruožus tokiuose darbuose kaip „Mobius Strip II (Red Ants)“, „Riders“ ir „Nots“ yra Maurits Cornelis Escher.

Möbius juostelės arba minimalios energijos paviršiai, kaip jie dar vadinami, tapo įkvėpimo šaltiniu matematiniams menininkams ir skulptoriams, tokiems kaip Brentas Collinsas ir Maxas Billas. Garsiausias paminklas Mobius juostai įrengtas prie įėjimo į Vašingtono istorijos ir technikos muziejų.

Rusijos menininkai taip pat neliko nuošalyje nuo šios temos ir kūrė savo kūrinius. „Mobius Strip“ skulptūros buvo įrengtos Maskvoje ir Jekaterinburge.

Literatūra ir topologija

Neįprastos Möbius paviršių savybės įkvėpė daugybę rašytojų sukurti fantastiškus ir siurrealistinius kūrinius. Mobijaus kilpa vaidina svarbų vaidmenį R. Zelazny romane „Durys smėlyje“ ir yra pagrindinė B. Lumley romano „Nekroskopas“ veikėjo judėjimo erdvėje ir laike priemonė.

Ji taip pat pasirodo Arthuro C. Clarke apsakymuose „Tamsos siena“, M. Cliftono „Ant Mobius Strip“ ir A. J. Deitcho „The Mobius Strip“. Remiantis pastaruoju, režisierius Gustavo Mosquera sukūrė fantastinį filmą „Mobius“.

Mes tai darome patys, savo rankomis!

Jei jus domina „Mobius“ juostelė, kaip padaryti jos modelį, maža instrukcija jums pasakys:

1. Norėdami pagaminti jo modelį, jums reikės:

Paprasto popieriaus lapas;

Žirklės;

Valdovas.

2. Iš popieriaus lapo iškirpkite juostelę, kad jos plotis būtų 5-6 kartus mažesnis už ilgį.

3. Gautą popieriaus juostelę išdėliokite ant lygaus paviršiaus. Vieną galą laikome ranka, o kitą apsukame 1800, kad juostelė pasisuktų ir blogoji pusė taptų priekine.

4. Suklijuokite susuktos juostelės galus, kaip parodyta paveikslėlyje.

Mobius juostelė yra paruošta.

5. Paimkite rašiklį ar žymeklį ir pradėkite piešti kelią juostos viduryje. Jei viską padarėte teisingai, grįšite į tą patį tašką, kuriame pradėjote brėžti liniją.

Kad gautumėte vizualinį patvirtinimą, kad Möbius juostelė yra vienpusis objektas, pabandykite pieštuku ar rašikliu nudažyti vieną iš jos pusių. Po kurio laiko pamatysite, kad jį visiškai nudažėte.paskelbė econet.ru

šaltiniai

Technika – jaunimas 1984-09, 65 psl

Arndt Anastasija

Straipsnyje aptariama Möbius juostos atradimo istorija ir eksperimentai, kuriuos galima atlikti su Möbius juosta.

Parsisiųsti:

Peržiūra:

Savivaldybės biudžetinė švietimo įstaiga

"Vesennenskaya vidurinė mokykla"

Kalėdiniai skaitiniai

Nominacija: „Tikslieji mokslai“

Mobius juostos paslaptys

Arndt Anastasija

5 klasės mokinys

Prižiūrėtojas:

Arndtas Irina

Vasilevna,

Matematikos mokytojas

Su. Pavasaris

2014 metai

Įvadas. ………………………………………………………..…..…..… Su. 3

I skyrius. Istorinis pagrindas. .....…………………………………....... Su. 3-4

II skyrius. Möbius juosta. ………………………………………….....…….Su. 4-9

§1. Mobius juostelės gaminimas. ………………………………........…..Su. 4

§2. Eksperimentai su Möbius juostele. ……..………………………........Su. 4-6

§3. Mobius juostos pritaikymas gyvenime. …………………………..… p.7-9

Išvada. ………………………………………..…………………........Su. 9

Literatūra. ……………………………………………………………..….Su. 10

Įvadas.

Kiekvienas iš mūsų intuityviai supranta, kas yra „paviršius“. Popieriaus lapo paviršius, klasės sienų paviršius, Žemės rutulio paviršius yra visiems žinomas. Ar tokioje įprastoje koncepcijoje gali būti kas nors netikėto ir net paslaptingo? Moebius pavyzdinis lapas rodo, kad gali. Daugelis žmonių žino, kas yra Möbius juostelė (juosta). Tiems, kurie dar nėra susipažinę su nuostabiu darbalapiu, priklausančiu „matematiniams netikėtumams“, kviečiame tyrinėti kartu su mumis ir pasinerti į ryškų žinių jausmą.

Mane labai domino ši tema. Nusprendžiau pagilinti savo žinias šioje srityje.

Mano darbo tikslas: ištirti Mobius juostą kaip vieną iš topologijos objektų.

Tikslai: - surinkti visą įmanomą informaciją apie Mobius juostą;

Eksperimentiškai ištirti Mobius juostos savybes;

Parodykite Mobius juostelės naudojimą gyvenime.

I skyrius. Istorinis pagrindas.

Paslaptinga ir garsiMöbius juostą savarankiškai atrado vokiečių matematikai Augustas Ferdinandas Möbiusas ir Johanas Benediktas Listingas 1858 m.

Augustas Ferdinandas Mobiusas(1790-1868), gimęs Schulpforte mieste, vokiečių geometras, „matematų karaliaus“ garsiojo K.F. Gausas. Mobiusas iš pradžių buvo astronomas. Leipcigo universiteto profesorius nuo 1816 m. Jis pradėjo vykdyti nepriklausomus astronominius stebėjimus Pleisenburgo observatorijoje 1818 m. tapo jos direktoriumi. Dirbdamas ramioje vienumoje, Möbiusas padarė daug įdomių atradimų, tapo vienu didžiausių XIX a. geometrų. Būdamas 68 metų jam pavyko atrasti nuostabaus grožio. Tai vienpusių paviršių atradimas, vienas iš jų – Möbius juosta.Tai buvo reikšmingiausias įvykis jo gyvenime!

Sakoma, kad Mobiui „lapą“ atplėšti padėjo tarnaitė, neteisingai susiuvusi kaspino galus.

Istorijoje dažnai pasitaiko atvejų, kai viena idėja iškyla keliems išradėjams vienu metu. Tai atsitiko su Mobius juostele.

Tais pačiais 1858 metais juostos idėja kilo kitam mokslininkui, K.F. Gausas -Johano Benedikto sąrašas(1808-1882), vokiečių matematikas ir fizikas, Getingeno universiteto profesorius. Jis pavadino mokslą, kuris tiria tęstinumą - topologija

Topologija tiria geometrinių figūrų savybes, kurios nesikeičia jas sulenkus, ištempus ar suspaudus. Topologinio objekto – juostos – atradimo čempionatas atiteko Augustui Mobiui.

Kas sukrėtė šiuos du vokiečių profesorius? Ir tai, kad Mobius juosta turi tik vieną pusę.

II skyrius. Möbius juosta.

§1. Mobius juostelės gaminimas.

Möbius juostelę labai lengva pasidaryti, laikyti rankose, karpyti, kitaip eksperimentuoti. Möbius juostos studijavimas yra geras įvadas į topologijos elementus.

Möbius juosta yra viena iš tų matematinių netikėtumų. Norėdami sukurti Möbius juostelę, paimkite stačiakampę juostelę ABB 1 A 1 , pasukite 180 laipsnių kampu ir klijuokite priešingas puses AB ir A 1 iš 1 , t.y. kad taškai A ir B sutaptų 1 ir taškai A 1 ir B.

Gauname susuktą žiedą.Ir mes klausiame savęs: kiek pusių turi šis popieriaus lapas? Du, kaip kas nors kitas? Nr. Jis turi VIENĄ pusę. Netikite manimi?

§2. Eksperimentai su Möbius juostele.

Norėdami ištirti jo savybes, atlikau keletą eksperimentų, kuriuos suskirstiau į dvi grupes:

I grupė.

Patirtis Nr.1 . Mobiuso juostelę pradėjau dažyti neapversdamas.

Rezultatas. Möbius juosta buvo visiškai nudažyta.

„Jei kas nors nuspręs nudažyti tik vieną Möbiuso juostos paviršiaus pusę, tegul jis nedelsdamas panardina viską į kibirą dažų“, – rašo Richardas Courantas ir Herbertas Robinsas puikioje knygoje „Kas yra matematika?

Patirtis Nr.2.

Įsivaizduokite, kad formos keitėjas keliauja Mobius juosta ir, nuėjęs visą kelią, grįš į pradinį tašką. Tuo pačiu metu jis apeis abu paviršius - išorinį ir vidinį, nesukirsdamas kraštų.Tai įrodoMöbiuso juosta yra vienpusis paviršius.Jis grįžo į pradinį tašką. Bet kokia forma! Apverstas!

O kad jis grįžtų į startą įprastoje padėtyje, jam reikia dar kartą „apvaliu lapu“. Möbius juosta turi tik vieną pusę!

II grupė eksperimentai, susiję su Mobius juostos pjovimu.

Atlikau keletą eksperimentų, kurių rezultatai buvo įrašyti į lentelę.

patirtį	Patirties aprašymas	Rezultatas
	Per vidurį išilgai iškirptas paprastas žiedas.	Gavome du paprastus žiedus, vienodo ilgio, dvigubai platesnius.
	Möbius juosta buvo nupjauta išilgai vidurio.	Gavome 1 žiedą, kurio ilgis dvigubai ilgesnis, plotis dvigubai siauresnis, susuktas 1 pilnas apsisukimas.
	Nupjaukite Möbius juostelę, atsitraukdami nuo krašto maždaug trečdaliu jos pločio.	Gauni dvi juosteles, viena yra trumpesnė Möbius juostelė, kita – ilgesnė. juosta su dviem pusapsukimais.
	4 cm pločio juostelę padalinkite į keturias lygias dalis, pradėkite kirpti 1 cm atstumu nuo krašto.	Gaunate dvi juosteles, viena lygi originalo ilgiui, kita ilga.
	Iškirpkite 5 cm pločio Möbius juostelę išilgai 1 cm atstumu nuo krašto.	Gausite du tarpusavyje sujungtus žiedus: 3 cm pločio Möbius juostelę, lygią originalios ilgiui ir 1 cm pločio, dvigubai ilgesnę už originalą, susuktą dviem pilnais apsisukimais.
	Suklijuokite Möbius juostelę du kartus sukdami.	Gauname dvi Mobius juosteles, susietas viena su kita.

Tai netikėti dalykai, kurie nutinka paprastai popieriaus juostelei, jei ją suklijuojate į Möbius juostelę.

§3. Mobius juostos pritaikymas gyvenime.

Atlikdamas šį darbą priėjau išvados, kad nors Mėbius juosta buvo atrasta dar XIX a., ji aktuali tiek XX, tiek XX a.

Nuostabios Möbius juostos savybės buvo ir yra naudojamos technologijose, fizikoje ir optikoje. Jis įkvėpė daugelio rašytojų ir menininkų kūrybą.

Įdomu, kad „Mobius“ juosta ir dabar jaudina išradėjų protus. Daugelyje pasaulio šalių buvo patentuoti nuostabūs ja paremti mechanizmai.

Möbius juosta technologijos ir fizikos srityse

Mobiuso susuktose magnetinėse juostose įrašytos informacijos tūris padvigubėja irgroja dvigubai ilgiau.Sukurtos specialios kasetės, leidžiančios klausytis jų „iš abiejų pusių“ nekeičiant vietos.

Ši juosta puikiai tinka rišant ir gabenant krovinius uostuose. Konvejerio juostos karštoms medžiagoms pervežti, jei pagal Möbius bus pasuktos, pakaitomis „ilsėsis“ nuo įkaitusių medžiagų. Dėl to gerėja diržo aušinimas, diržas tolygiai susidėvi, vadinasi, tarnaus ilgiau.Tai leidžia žymiai sutaupyti.

Möbius juosta gamtoje ir gyvenime.

Egzistuoja hipotezė, kad pati DNR spiralė taip pat yra Mobiuso juostelės fragmentas ir tik dėl to genetinį kodą taip sunku iššifruoti ir suvokti. Be to, tokia struktūra gana logiškai paaiškina prasidėjusią biologinės mirties priežastį – spiralė užsidaro ant savęs ir įvyksta savęs sunaikinimas.

Möbius juosta mene.

Paslaptinga Mobius juosta visada jaudino rašytojų, menininkų ir skulptorių protus. Möbius juosta buvo įkvėpimo šaltinis skulptūroms ir grafikos menui. Escheris buvo vienas iš menininkų, kurie jį ypač mėgo ir keletą savo litografijų skyrė šiam matematiniam objektui. Viename garsiajame pavaizduotos skruzdėlės, ropojančios Möbius juostos paviršiumi.

Plačiai žinomi ir jo piešiniai, vaizduojantys Mėbijaus juostą.

Labai įdomūs yra paminklai, skirti Möbius juostai.

Daugelio miestų gatves puošia skulptūros pagal Mobius juostos temą.

Juvelyrai savo darbus skyrė Möbius juostai.

Möbius juostelė pavaizduota ant įvairių emblemų, vaizduojama Maskvos universiteto Mechanikos ir matematikos fakulteto ženklelyje.

Tarptautinis perdirbimo simbolis taip pat yra Möbius Strip.

Be to, Mėbijaus vardu pavadintas krateris tolimoje Mėnulio pusėje.

Architektai Möbius juostą naudoja naujoviškais būdais. Taip atrodo, pavyzdžiui, neįtikėtinas naujos bibliotekos projektas Astanoje (Kazachstanas).

Išvada.

Möbius juosta turi daug įdomių savybių.

Möbius juosta turi vieną kraštą.
Möbius juosta turi vieną pusę.
Möbius juosta yra topologinis objektas. Kaip ir bet kuri topologinė figūra, Möbius juostelė nekeičia savo savybių, kol ji nėra nupjauta, suplėšyta arba suklijuotos atskiros jos dalys.
Vienas Mobiuso juostos kraštas ir viena pusė nesusiję su jos padėtimi erdvėje ir nesusiję su atstumo sąvokomis.

Möbiuso juosta yra pirmasis aptiktas vienpusis paviršius. Vėliau matematikai atrado visą eilę vienpusių paviršių. Šiame darbe bandžiau apibūdinti gražaus paviršiaus - Mobius juostos savybes, parodyti jos reikšmę praktikoje, įrodyti, kad Mobius juosta yra topologinė figūra.

Nepaisant to, kad Möbiusas savo nuostabų atradimą padarė seniai, jis vis dar labai populiarus ir šiandien:

Matematikai atlieka tolesnius tyrimus;
moksleiviams labai įdomu eksperimentuoti su Möbius juostele;
technologijose – atrandami nauji Möbius juostos panaudojimo būdai.

Eksperimentų su Möbius juostele neišsemiau. Jie yra begaliniai, įdomūs ir priklauso nuo jūsų kantrybės. Ateityje planuoju toliau tyrinėti šį nenuspėjamą lapą.

Literatūra.

Vološinovas A.V., „Matematika ir menas“ M.: „Švietimas“, 1996 m.
Laikraščio „Matematika“ priedas prie leidyklos „Rugsėjo pirmoji“, Nr.14 1999, Nr.24 2006 m.
Gardner M. „Matematiniai stebuklai ir paslaptys“, „Mokslas“ 1978 m.
Gusevas V.A., Kombarovas A.P. „Matematinis apšilimas“ M.: „Nušvitimas“, 1986 m.
Interneto svetainės ištekliai:http://ru.wikipedia.
Kordemsky B. A. Topologiniai eksperimentai „pasidaryk pats“. Kvantas, 1974, Nr.3.

Įsivaizduokime paviršių ir ant jo sėdinčią skruzdėlę. Ar skruzdėlė sugebės nušliaužti į kitą paviršiaus pusę – vaizdžiai tariant, į jos apačią – neperlipusi per kraštą? Žinoma ne!

Augustas Ferdinandas Mobiusas (1790–1868)

Pirmąjį vienpusio paviršiaus pavyzdį, į kurią bet kurią vietą skruzdėlė gali nušliaužti neperlipusi per kraštą, Mobiusas pateikė 1858 m.

Möbiuso juostelė, dar vadinama kilpa, paviršiumi arba lakštu, yra matematinės topologijos disciplinos tyrimo objektas, tiriantis bendras figūrų savybes, kurios išsaugomos tokiose nuolatinėse transformacijose kaip sukimas, tempimas, suspaudimas, lenkimas ir kt. susijęs su vientisumo pažeidimu . Nuostabi ir išskirtinė tokios juostos savybė yra ta, kad ji turi tik vieną pusę ir kraštą ir niekaip nesusijusi su jos vieta erdvėje. Mobiuso juosta yra topologinė, tai yra ištisinis objektas, turintis paprasčiausią vienpusį paviršių su riba įprastoje euklido erdvėje (trimatėje), kur iš vieno tokio paviršiaus taško galima patekti į bet kurį kitą be kirtimo. kraštus.

Augustas Ferdinandas Möbiusas (1790-1868) – matematikų „karaliaus“ Gauso mokinys. Möbiusas iš pradžių buvo astronomas, kaip ir Gaussas ir daugelis kitų, kuriems matematika yra skolinga už savo vystymąsi. Tais laikais matematika nebuvo remiama, o astronomija duodavo pakankamai pinigų, kad apie jas negalvotų, palikdavo laiko savo mintims. O Möbiusas tapo vienu didžiausių XIX amžiaus geometrų.

Būdamas 68 metų Möbiusas atrado nuostabaus grožio. Tai yra vienpusių paviršių atradimas, vienas iš jų yra Möbius juosta (arba juostelė). Kaspino idėją Mėbiusas sugalvojo, kai pastebėjo tarnaitę, kuri neteisingai nešiojo šaliką ant kaklo.
Euklido erdvėje iš tikrųjų yra dviejų tipų pusiau pasuktos Mobius juostos: viena pasukta pagal laikrodžio rodyklę, kita prieš laikrodžio rodyklę.

Möbius juostelė pasižymi šiomis savybėmis, kurios nekinta ją suspaudžiant, perpjaunant išilgai ar suglamžant:

1. Vienos pusės buvimas. A. Mobius darbe „Apie poliedrų tūrį“ aprašė geometrinį paviršių, vėliau pavadintą jo garbei, turintį tik vieną pusę. Patikrinti tai gana paprasta: paimkite Mobius juostelę ar juostelę ir pabandykite nudažyti vidų viena spalva, o išorę – kita. Nesvarbu, kurioje vietoje ir kokia kryptimi buvo pradėtas dažymas, visa figūra bus nudažyta ta pačia spalva.
2. Tęstinumas išreiškiamas tuo, kad bet kuris šios geometrinės figūros taškas gali būti sujungtas su bet kuriuo kitu tašku, neperžengiant Mobiuso paviršiaus ribų.
3. Ryškumas, arba dvimatiškumas, slypi tame, kad perpjaunant juostą išilgai iš jos neišsisuks kelios skirtingos formos, ji išlieka vientisa.

4. Jai trūksta tokios svarbios savybės kaip orientacija. Tai reiškia, kad žmogus, sekantis šia figūra, grįš į savo kelio pradžią, bet tik veidrodiniame savo atvaizde. Taigi, begalinė Mobius juosta gali nuvesti į amžiną kelionę.
5. Specialus chromatinis skaičius, rodantis didžiausią įmanomą plotų skaičių Mobiuso paviršiuje, kurį galima sukurti taip, kad bet kuri iš jų turėtų bendrą ribą su visais kitais. Möbius juostelės chromatinis skaičius yra 6, o popierinio žiedo chromatinis skaičius yra 5.

Šiandien Mobius juosta ir jos savybės plačiai naudojamos moksle, kuri yra pagrindas kuriant naujas hipotezes ir teorijas, atliekant tyrimus ir eksperimentus, kuriant naujus mechanizmus ir įrenginius. Taigi, yra hipotezė, pagal kurią Visata yra didžiulė Mobiuso kilpa. Tai netiesiogiai liudija Einšteino reliatyvumo teorija, pagal kurią net tiesiai skrendantis laivas gali grįžti į tą patį laiko ir erdvės tašką, iš kurio ir pradėjo.

Kita teorija mano, kad DNR yra Mobius paviršiaus dalis, o tai paaiškina sunkumus nuskaityti ir iššifruoti genetinį kodą. Be kita ko, tokia struktūra pateikia logišką biologinės mirties paaiškinimą – ant savęs užsidariusi spiralė veda į objekto savęs sunaikinimą. Anot fizikų, daugelis optinių dėsnių yra pagrįsti Mobiuso juostos savybėmis. Taigi, pavyzdžiui, veidrodinis atspindys yra ypatingas perkėlimas laike ir žmogus savo veidrodį mato dvigubai priešais save.

Jei jus domina „Mobius“ juostelė, kaip padaryti jos modelį, maža instrukcija jums pasakys:
1. Jo modeliui pagaminti jums reikės: - paprasto popieriaus lapo;
- žirklės;
- valdovas.
2. Iš popieriaus lapo iškirpkite juostelę, kad jos plotis būtų 5-6 kartus mažesnis už ilgį.
3. Gautą popieriaus juostelę išdėliokite ant lygaus paviršiaus. Vieną galą laikome ranka, o kitą apsukame 180*, kad juostelė pasisuktų ir blogoji pusė taptų priekine.
4. Suklijuokite susuktos juostelės galus, kaip parodyta paveikslėlyje.

Mobius juostelė yra paruošta.
5. Paimkite rašiklį ar žymeklį ir pradėkite piešti kelią juostos viduryje. Jei viską padarėte teisingai, grįšite į tą patį tašką, kuriame pradėjote brėžti liniją.

Möbius juosta buvo įkvėpimo šaltinis skulptūroms ir grafikos menui. Escheris buvo vienas iš menininkų, kurie jį ypač mėgo ir keletą savo litografijų skyrė šiam matematiniam objektui. Vienas iš žinomiausių yra Mobius Strip II, kuriame pavaizduotos skruzdėlės, ropojančios Mobius juostos paviršiumi.

Möbius juosta yra mokslo populiarinimo knygų serijos „Kvantinė biblioteka“ emblema. Jis taip pat reguliariai pasirodo mokslinėje fantastikoje, pavyzdžiui, Arthuro C. Clarke apsakyme „Tamsos siena“. Kartais mokslinės fantastikos istorijos (sekančios teoriniais fizikais) rodo, kad mūsų Visata gali būti kažkokia apibendrinta Möbius juosta. Taip pat Mobijaus žiedas nuolat minimas Uralo rašytojo Vladislavo Krapivino darbuose, cikle „Didžiojo krištolo gelmėse“ (pvz., „Užpostas inkaro lauke. Pasaka“). A. J. Deitcho apsakyme „The Mobius Strip“ Bostono metro nutiesia naują liniją, kurios maršrutas tampa toks painus, kad tampa Mobiuso ruožu, todėl linijoje dingsta traukiniai. Remiantis istorija, buvo nufilmuotas mokslinės fantastikos filmas „Mobius“, kurį režisavo Gustavo Mosquera. Taip pat Möbius juostos idėja panaudota M. Clifton apsakyme „On the Möbius Strip“.

„Mobius“ juosta naudojama kaip būdas Harry Keefe'ui, Briano Lumley romano „Nekroskopas“ veikėjui, keliauti erdvėje ir laiku.

Mėbijaus juosta vaidina svarbų vaidmenį R. Zelazny mokslinės fantastikos romane „Durys smėlyje“.

E. Naumovo knygoje „Pusgyvenimas“ (1989) alkoholikas intelektualas keliauja po šalį, stovėdamas ant Mobius juostos.

Šiuolaikinio rusų rašytojo Aleksejaus Šepelevo romano „Aidas“ srautas lyginamas su Mėbijaus juostele. Iš knygos anotacijos: „Aidas“ yra literatūrinė Mobiuso žiedo analogija: dvi siužetinės linijos – „berniukai“ ir „mergaitės“ – persipynę, teka viena į kitą, bet nesikerta.

Möbius juosta taip pat figūruoja Haruki Murakami esė „Obladi Possessed“ iš 2010 m. rinkinio „Radio Murakami“, kur Möbius juosta perkeltine prasme lyginama su begalybe.

CHARON vaizdiniame romane „Makoto Mobius“ pagrindinis veikėjas Wataro bando išgelbėti savo klasės draugą nuo mirties, naudodamas magišką artefaktą – Mobius juostelę.

1987 m. sovietų džiazo pianistas Leonidas Čižikas įrašė albumą „Mobius Strip“, kuriame buvo to paties pavadinimo kompozicija.

Lenktynių trasa viename iš animacinio serialo „Futurama“ epizodų (7 sezonas, 14 serija, 11 minučių) yra „Mobius“ juosta.

Yra techninių Möbius juostos pritaikymų. Konvejerio juosta, sukurta kaip Möbius juosta, tarnaus ilgiau, nes visas juostos paviršius dėvisi tolygiai. Nepertraukiamo filmavimo sistemose taip pat naudojamos Möbius juostos (kad padvigubėtų įrašymo laikas). Daugelyje matricinių spausdintuvų rašalo juostelė taip pat turi Mobius juostelės formą, kad padidintų jos išteklius.

Taip pat virš įėjimo į Rusijos mokslų akademijos Centrinį ekonomikos ir matematikos institutą yra mozaikinė aukšto reljefo „Mobius Strip“, kurią sukūrė architektas Leonidas Pavlovas, bendradarbiaujant su menininkais E. A. Žarenova ir V. K. Vasilcovu (1976).

Architektūriniai sprendimai naudojant Moebius juostos idėją:

Papuošalai Mobius juostelės pavidalu:

Yra techninių Möbius juostos pritaikymų. Konvejerio juostos juosta pagaminta Möbius juostos pavidalu, kuri leidžia jai dirbti ilgiau, nes visas juostos paviršius dėvisi tolygiai. Nepertraukiamo filmavimo sistemose taip pat naudojamos Möbius juostos (kad padvigubėtų įrašymo laikas). Daugelyje matricinių spausdintuvų rašalo juostelė taip pat turi Mobius juostelės formą, kad padidintų jos išteklius.

Įrenginys, vadinamas Möbius rezistoriumi, yra neseniai išrastas elektroninis elementas, neturintis savo induktyvumo. Möbius juostelės taip pat naudojamos nepertraukiamose filmų įrašymo sistemose (kad padvigubėtų įrašymo laikas); matriciniuose spausdintuvuose rašalo juostelė taip pat buvo Möbius juostelės pavidalo, kad būtų padidintas galiojimo laikas.

Stebuklinga, nereali – tai visi būdvardžiai, kuriais galima apibūdinti Mobius juostelę. Viena didžiausių mūsų laikų paslapčių. Galbūt tai yra Mobius juostelė, kuri slepia visko, kas egzistuoja mūsų Visatoje, sąveikos paslaptis. Ši figūra turi paslaptingų savybių ir labai realių pritaikymų.

Möbius juosta yra viena nepaprastiausių geometrinių figūrų. Nepaisant neįprasto pobūdžio, jį lengva pasigaminti namuose.

Möbius juosta yra trimatė nesiorientuojanti figūra su viena riba ir viena puse. Dėl to jis yra unikalus ir skiriasi nuo visų kitų objektų, su kuriais galima susidurti kasdieniame gyvenime. Möbius juosta taip pat vadinama Möbius juostele ir Möbius paviršiumi. Tai reiškia topologinius objektus, tai yra ištisinius objektus. Tokius objektus tiria topologija – mokslas, tiriantis aplinkos ir erdvės tęstinumą.

Pats juostos atidarymas kelia susidomėjimą. Du nesusiję matematikai jį atrado tais pačiais 1858 m. Šie atradėjai buvo Augustas Ferdinandas Möbiusas ir Johanas Benediktas Listingas.

Juostos sutartinai išsiskiria lankstymo būdu: pagal laikrodžio rodyklę ir prieš laikrodžio rodyklę. Jie taip pat vadinami dešine ir kaire. Tačiau iš akies neįmanoma atskirti juostos tipo.

Padaryti tokią figūrą labai paprasta: reikia paimti ABCD juostą. Sulenkite taip, kad sujungtumėte taškus A ir D, B ir C, ir suklijuokite sujungtus galus.

Kai kurie mano, kad ši paslaptinga geometrinė figūra yra apverstos aštuonių begalybės figūros prototipas, tačiau iš tikrųjų tai netiesa. Šis simbolis buvo pradėtas naudoti dar ilgai prieš Möbius juostos atradimą. Tačiau šių figūrų reikšmės panašumas tikrai yra. Mistikai Mobius juostelę vadina dvigubo vieno suvokimo simboliu. Atrodo, kad „Mobius“ juosta kalba apie visko, kas yra mūsų pasaulyje, įsiskverbimą, tarpusavio ryšį ir begalybę. Nenuostabu, kad jis dažnai naudojamas kaip emblemos ir prekių ženklai. Pavyzdžiui, tarptautinis perdirbimo simbolis atrodo kaip Mobius juostelė. Mobiuso juosta taip pat gali būti unikali tam tikrų gamtos reiškinių, pavyzdžiui, vandens ciklo, iliustracija.

Möbius juostelė pasižymi būdingomis savybėmis, kurios nesikeičia, jei juosta suspaudžiama, suglamžyta ar perpjaunama išilgai.

Šios savybės apima:

Vienpusiškumas. Jei paimsite Mobius juostelę ir pradėsite tapyti bet kuria vieta ir kryptimi, palaipsniui visa figūra bus nudažyta visiškai, nereikės figūros apversti.
Tęstinumas. Kiekvienas šios figūros taškas gali būti sujungtas su kitu tašku, niekada neperžengiant juostos kraštų.
Biconnectivity (arba dvimatis). Juosta lieka nepažeista, jei ją perpjaunate išilgai. Tokiu atveju nebus sukurtos dvi skirtingos figūros.
Trūksta orientacijos. Jeigu įsivaizduotume, kad žmogus galėtų sekti šia figūra, tai grįžęs į kelionės pradžios tašką jis pavirstų savo paties atspindžiu. Kelionė begalybės lakštu gali tęstis amžinai.

Jei pasiimsite žirkles ir šiek tiek magijosite ant šio paslaptingo paviršiaus, galėsite sukurti papildomų neįprastų formų. Jei perpjausite jį išilgai, lygiu atstumu nuo kraštų, gausite susuktą „Afganistano juostelę“. Jei gauta juosta yra padalinta išilgai, per vidurį, tada susidaro dvi juostos, prasiskverbiančios viena į kitą. Jei uždėsite kelias juosteles vieną ant kitos ir sujungsite į Mobius juostelę, tada išskleidę tokią figūrą vėl gausite „Afganistano juostą“.

Jei perpjaunate Möbius juostelę trimis ar daugiau pusės apsisukimų, gausite žiedus, vadinamus paradrominiais žiedais.

Jei suklijuosite dvi Mobius juosteles palei ribas, gausite dar vieną nuostabią figūrą - Kleino buteliuką, tačiau jo negalima padaryti įprastoje trimatėje erdvėje.

Jei išlyginsite kai kuriuos Mobius juostelės kraštus, gausite neįmanomą Penrose trikampį. Tai plokščio trikampio iliuzija, į kurią žiūrint atrodo, kad ji yra trimatė.

Möbius juosta yra neišsenkantis rašytojų, menininkų ir skulptorių kūrybiškumo šaltinis. Jis dažnai minimas fantastinėje ir mistinėje literatūroje. Jo savybės buvo pagrindas meninei fantastikai apie Visatos kilmę, pomirtinio pasaulio struktūrą ir judėjimą laike ir erdvėje. Möbius juostą savo darbuose paminėjo Arthuras Clarke'as, Vladislavas Krapivinas, Julio Cortazaras, Haruki Murakami ir daugelis kitų.

Garsus menininkas Escher sukūrė daugybę litografijų, naudodamas juostą. Garsiausiame jo darbe skruzdėlės šliaužioja palei Mobius juostą.

Mobius juostelės savybės leis parodyti įdomių gudrybių. Pažvelkime į vieną garsiausių. Pakabinamos dvi Möbius juostelės, pagamintos iš kalio nitrato, ir magas paliečia uždegtą cigaretę prie kiekvienos iš jų vidurio linijos. Liepsnojanti liepsna pailgins pirmąją juostelę, o antrąją pavers dviem sujungtomis viena su kita. Populiarus amerikietiškas kalnelis pagamintas Mobius juostelės pavidalu. Juvelyrai dažnai naudoja šią geometrinę figūrą kurdami papuošalų dizainą.

Mobius juostelės plačiai naudojamos moksle ir pramonėje. Tai daugelio mokslinių tyrimų ir hipotezių šaltinis. Pavyzdžiui, yra teorija, kad DNR yra Mobius juostos dalis. Genetikos tyrėjai jau išmoko iškirpti vienos grandinės DNR, kad būtų sukurta Möbius juostelė. Fizikai teigia, kad optiniai dėsniai pagrįsti Mobiuso juostos savybėmis. Pavyzdžiui, atspindys veidrodyje yra tam tikras judėjimas laike panašia trajektorija. Yra mokslinė hipotezė, kad Visata yra milžiniška Mobius juosta.

XX amžiaus pradžioje Nikola Tesla išrado Möbius rezistorių, kuris priešinasi elektros srautui nesukeldamas elektromagnetinių trukdžių. Jį sudaro du laidūs paviršiai, susukti 180°, kad susidarytų Möbius juosta.

Konvejerio juostos (nepertraukiamo transportavimo mašinos) juosta pagaminta Mobius juostos formos. Šis paviršius leidžia pailginti juostos tarnavimo laiką, nes jos nusidėvėjimas vyks tolygiai. „Moebius“ juostos forma taip pat naudojama įrašant į ištisinę juostą.

Mobius juostelė buvo naudojama taškiniuose spausdintuvuose, siekiant prailginti rašalo juostelės galiojimo laiką.

Moebius juostos pagrindu sukurtas abrazyvinis žiedas galandimo mechanizmuose, veikia automatinė pavarų dėžė.

Šiuo metu daugelis išradėjų naudoja šios juostos savybes eksperimentams ir naujų prietaisų kūrimui.

„Mobius“ juosta ir toliau kelia nuolatinį susidomėjimą ne tik tarp matematikų ir išradėjų, bet ir tarp paprastų žmonių. Ji įkvepia menininkus kurti paslaptingus kūrinius ir fantastiškas teorijas. Eksperimentuoti su šia įdomia figūra yra patraukli veikla tiek suaugusiems, tiek vaikams. Jo savybės buvo pritaikytos moksle, technikoje ir kasdieniame gyvenime. „Mobius“ juosta – tai linksma matematinė mįslė, slepianti idealistinio Visatos sandaros supratimo prasmę, jos poveikį mūsų gyvenimui galima tyrinėti be galo.

Möbius juosta (Möbius kilpa, Möbius juosta)- paprastos išvaizdos figūra, bet matematikas pasakytų, kad tai dvimatis paviršius, pasižymintis nuostabiomis savybėmis: jis turi tik vieną kraštą ir vieną kraštą, skirtingai nuo paprasto žiedo, kurį galima suvynioti iš tos pačios juostelės kaip ir Möbius. juostelė, bet ji turės dvi puses ir du kraštus. Tai galite lengvai patikrinti, nubrėžę liniją juostos viduryje, nepakeldami pieštuko nuo popieriaus, kol grįšite į pradinį tašką. Keista, bet tiesa: dėl juostos pusės apsisukimo jos viršutinis ir apatinis kraštai susiliejo į vieną ištisinę liniją, o dvi pusės pavirto į vientisą visumą ir tapo viena puse. Ir štai rezultatas: iš vieno Mobiuso juostos taško į bet kurį kitą galite patekti neperžengdami krašto.

Bėgimas ant Mobius juostos

Žiūrovui iš šalies kelionė Mobius juosta yra „bėgimas ratu“, kupinas netikėtumų. Ją aiškiai pavaizdavo olandų grafikas Mauritsas Escheris (1898-1972). Paveiksle „The Mobius Strip II“ skruzdėlės bėgioja. Stebėdami jų judėjimą galite padaryti įdomų atradimą. Padarius vieną apsisukimą išilgai juostos, kiekviena skruzdė bus pradiniame taške, bet jau antipodo padėtyje - vizualiai ji bus „kitoje juostos pusėje“ aukštyn kojomis. Kas nutinka dvimačiai būtybei, judančiam Mobiuso juosta? Apėjęs paviršių, jis pavirs veidrodiniu atvaizdu (tai nesunku įsivaizduoti, jei juostą laikote skaidria). Kad taptų savimi, dvimatė būtybė turės apsukti dar vieną ratą. Taigi skruzdėlė turi du kartus eiti Möbius juosta, kad grįžtų į pradinę padėtį.

Mokslinis smalsumas ar naudingas atradimas

Möbiuso juosta dažnai vadinama matematiniu smalsumu. Ir pati jo išvaizda priskiriama atsitiktinumui. Pasak legendos, juostelę išrado vokiečių mokslininkas, kai ant tarnaitės pamatė neteisingai surištą kaklaskarę. Jis buvo garsus matematikas ir astronomas, Carlo Friedricho Gauso mokinys. Jis aprašė vienpusį paviršių su vienu kraštu dar 1858 m., tačiau per jo gyvenimą dokumentas nebuvo išleistas. Tais pačiais metais, nepriklausomai nuo Mobiuso, panašų atradimą padarė kitas Gauso mokinys Johanas Listingas.

Juosta vis dar buvo pavadinta Möbius vardu. Tai tapo vienu iš pirmųjų topologijos objektų – mokslo, tiriančio bendriausias figūrų savybes, būtent tas, kurios išsaugomos nuolatinių (be įpjovimų ar klijavimo) transformacijų: tempimo, suspaudimo, lenkimo, sukimo ir kt. Šios transformacijos primena figūrų, pagamintų iš gumos, deformacijos, todėl topologija kitaip vadinama „gumos geometrija“. Kai kurias topologines problemas Leonhardas Euleris išsprendė dar XVIII amžiuje. Naujos matematikos srities pradžią padėjo Listingo darbas „Preliminarūs topologijos tyrimai“ (1847), pirmasis sisteminis šio mokslo darbas. Jis taip pat sukūrė terminą „topologija“ (iš graikų kalbos žodžių τόπος - vieta ir λόγος - mokymas).

Mėbijaus juostą būtų galima laikyti moksliniu kuriozu, dar vienu matematikų užgaida, jei ji nebūtų radusi praktinio pritaikymo ir neįkvėpusi menininkų. Menininkai ją vaizdavo ne kartą, skulptoriai jai pastatė paminklus, rašytojai dedikavo savo kūrybą. Šis neįprastas paviršius patraukė architektų, dizainerių, juvelyrų ir net drabužių bei baldų gamintojų dėmesį. Išradėjai, dizaineriai ir inžinieriai atkreipė į tai dėmesį (pavyzdžiui, dar 1920-aisiais buvo patentuotos Möbius juostos pavidalo garso ir filmų juostos, leidžiančios dvigubai padidinti įrašymo trukmę). Tačiau magai su šia juostele susidoroja dažniau nei kiti: juos traukia neįprastos savybės, atsirandančios ją perpjovus.Taigi, jei Möbius juostelę perpjausite išilgai vidurinės linijos, ji netrūks į dvi dalis, kaip galima tikėtis. . Iš jo bus pagaminta siauresnė ir ilgesnė dvipusė juosta, susukta du kartus (panašios formos yra ir amerikietiškų kalnelių dizainas). Štai „kulinarinis triukas“: „Mobius“ juostelės formos pyragaičiai atrodys skanesni už įprastus, nes ant jų galite patepti dvigubai daugiau kremo! Be to, yra įdomių architektūrinių pastatų projektų, pagamintų „Möbius juostos stiliumi“. Kol kas jos egzistuoja tik popieriuje, bet, noriu tikėti, tikrai bus įgyvendintos.

„Dviprasmiška“ pozicija

Savo savybėmis Möbius juostelė iš tikrųjų primena objektą iš „Per žiūrintį stiklą“. O ji pati, būdama asimetriškos figūros, turi veidrodinį dublį. Išsiųsime dešinės pėdos atspaudą pasivaikščioti po juostą ir netrukus pamatysime, kad kairės pėdos atspaudas grįš namo. Tai juokinga, ar ne? O kada „dešinieji“ sugebėjo tapti „kairiaisiais“? „Sumontuokime“ į juostą dvimatį laikrodį ir priverskime jį visiškai apsisukti. Žvelgdami į laikrodį pamatysime, kad ciferblato rodyklės juda tuo pačiu greičiu, bet priešinga kryptimi! O kuri iš dviejų judėjimo krypčių yra teisinga?

Kol galvojate apie atsakymą, pastebiu, kad matematikas pasiūlytų elegantišką išeitį net iš šios „dviprasmiškos“ situacijos. Būtina, kad, pirma, laikrodis visada rodytų tą patį laiką, antra, ciferblato rodyklės būtų tokioje padėtyje, kuri išliktų veidrodiniame atspindyje, pavyzdžiui, stovėtų vertikaliai, sudarydama atvirkštinį kampą.

Na, patikrinkime atsakymą? Tiesą sakant, Möbius juostoje neįmanoma nustatyti konkrečios sukimosi krypties. Tą patį judesį galima suvokti ir kaip sukimąsi pagal laikrodžio rodyklę, ir kaip posūkį priešinga kryptimi. Kai Möbius juostoje atsitiktinai parinktas taškas apeina jį, viena kryptis nuolat keičiasi į kitą. Tuo pačiu metu „dešinė“ subtiliai pakeičiama į „kairė“. Dvimatė būtybė pati nepastebės jokių pokyčių. Tačiau juos matys kiti panašūs padarai ir, žinoma, mes, stebintys tai, kas vyksta iš kitos dimensijos. Tai toks nenuspėjamas, vienpusis Möbius paviršius.