همگرایی مطلق سری ها همگرایی مطلق و مشروط سری های متناوب

با (به طور کلی) اصطلاحات پیچیده، که مجموعه برای آنها همگرا می شود

برای همگرایی مطلقسری (1) لازم و کافی است (معیار کوشی برای همگرایی مطلق یک سری) که برای هر یک عددی وجود داشته باشد که برای همه اعداد و همه اعداد صحیح زیر صادق باشد:

اگر یک سری کاملاً همگرا باشد، آنگاه همگرا می شود. ردیف

کاملاً همگرا می شود و یک ردیف

همگرا می شود، اما نه به طور مطلق. اجازه دهید

مجموعه ای که از همان اصطلاحات سری (1) تشکیل شده است، اما به طور کلی به ترتیب متفاوتی گرفته شده است. از همگرایی مطلق سری (1) همگرایی مطلق سری (3) به دست می آید و سری (3) همان مجموع سری (1) است. اگر ردیف ها

پس کاملاً همگرا می شوند: هر ترکیب خطی از آنها

همچنین کاملاً همگرا می شود. یک سری به دست آمده از همه حاصل‌های زوجی ممکن از عبارت‌های این سری‌ها، که به ترتیب دلخواه مرتب شده‌اند، نیز کاملاً همگرا است و مجموع آن برابر است با حاصل ضرب مجموع این سری‌ها. ویژگی های فهرست شده سری های کاملاً همگرا به آن منتقل می شوند چند ردیف

مطلقاً همگرا می شود، یعنی تمام سری هایی که از جمع متوالی اعضای سری (4) با شاخص ها به دست می آیند، به طور مطلق همگرا می شوند و مجموع سری های متعدد (4) و سری های مکرر (5) برابر و منطبق با مجموع هر سری منفرد تشکیل شده است. از تمامی اعضای سری (4).

اگر عبارات سری (1) عناصر یک فضای باناخ خاص با معیار عناصر باشند، سری (1) نامیده می شود. اگر سری همگرا شوند کاملاً همگرا هستند

در مورد A.s. آر. عناصر فضای باناخ، ویژگی های فوق در نظر گرفته شده سری های اعداد کاملا همگرا، به ویژه، سیستم های جبری، تعمیم داده شده است. آر. عناصر یک فضای Banach در این فضا همگرا می شوند. به طور مشابه، مفهوم A.s. آر. به چند سری در فضای Banach منتقل می شود.

دایره المعارف ریاضی. - م.: دایره المعارف شوروی. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

ببینید «سری مطلق همگرا» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

سری تابعی (1) با (به طور کلی) اصطلاحات پیچیده، که روی مجموعه X همگرا می شوند، و به گونه ای که برای هر e> 0 عدد ne وجود دارد، که برای همه n>ne و همه نابرابری ها و به عبارت دیگر، a دنباله ای جزئی...... دایره المعارف ریاضی

محتوا. 1) تعریف 2) عددی که توسط یک سری تعیین می شود. 3) همگرایی و واگرایی سری ها. 4) همگرایی مشروط و مطلق. 5) همگرایی یکنواخت. 6) گسترش توابع به سری. 1. تعاریف. R دنباله ای از عناصر است... ... فرهنگ لغت دایره المعارف F.A. بروکهاوس و I.A. افرون

مجموع نامتناهی، دنباله ای از عناصر (به نام اعضای یک سری معین) از یک توپولوژی خطی معین. فضا و مجموعه نامتناهی معینی از مجموع متناهی آنها (به نام مجموع جزئی جهان... ... دایره المعارف ریاضی

یک سری، یک مجموع نامتناهی، برای مثال به شکل u1 + u2 + u3 +... + un +... یا به طور خلاصه، . (1) یکی از ساده‌ترین نمونه‌های دنباله‌ای که قبلاً در ریاضیات ابتدایی یافت شده است، مجموع یک پیشرفت هندسی بی‌نهایت در حال کاهش 1 + q + q 2 +... + q... ...

من یک مجموع نامتناهی است، برای مثال، به شکل u1 + u2 + u3 +... + un +... یا به طور خلاصه، یکی از ساده ترین مثال های جمع، که قبلاً در ریاضیات ابتدایی یافت می شود، بی نهایت کاهشی است. جمع...... دایره المعارف بزرگ شوروی

دنباله ای از توابع که در ناحیه بدون سایه به لگاریتم طبیعی (قرمز) همگرا می شوند. در این مورد، N امین مجموع جزئی یک سری توان است، که در آن N تعداد عبارت ها را نشان می دهد. سری کاربردی ... ویکی پدیا

S یک سری چندگانه است که عبارتی از فرمی است که از اعضای جدول تشکیل شده است.هر عضو این جدول با شاخص های m، n، شماره گذاری می شود. . . ، p، که از تمام اعداد طبیعی مستقل از یکدیگر عبور می کنند. نظریه K.r. شبیه به نظریه سری های دوگانه. همچنین ببینید… … دایره المعارف ریاضی

یک سری کسینوس و سینوس چند قوس، یعنی یک سری از شکل یا به صورت مختلط که ak، bk یا به ترتیب ck نامیده می شوند. ضرایب T.r برای اولین بار T.r. یافت شده در L. Euler (L. Euler, 1744). او تجزیه در گوگرد دریافت کرد. قرن 18 در ارتباط با... ... دایره المعارف ریاضی

سری که در آن توابعی هستند که در ناحیه ای مستقل از k هولومورف هستند. اگر برای همه، سری (*) فراخوانی می شود. نزدیک هارتگسا هر تابعی که در دامنه هارتگ از نوع D هولومورفیک باشد، می‌تواند به یک تابع کاملاً و یکنواخت همگرا در DG تجزیه شود. L.r. تمام و کمال... ... دایره المعارف ریاضی

سری متناوب یک مورد خاص از یک سری متناوب است.

تعریف 2.2.سری اعدادی که اعضای آن پس از هر عددی دارای نشانه های مختلف، تماس گرفت علامت متناوب .

برای سری های متناوب موارد زیر صادق است: تست کلی کافی برای همگرایی.

قضیه 2.2.بگذارید یک سری متناوب داده شود

اگر یک سری متشکل از مدول های اعضای این سری همگرا شوند

سپس سری متناوب (2.2) خودش همگرا می شود.

لازم به ذکر است که گزاره معکوس درست نیست: اگر سری (2.2) همگرا شود، این بدان معنا نیست که سری (2.3) همگرا می شود.

تعریف 2.3. کاملا همگرا ، اگر یک سری متشکل از مدول های اعضای آن همگرا شود.

یک سری متناوب نامیده می شود مشروط همگرا ، اگر خودش همگرا شود، اما سری متشکل از مدول های اعضای آن واگرا شود.

در میان سری های متناوب، سری های کاملا همگرا جایگاه ویژه ای را به خود اختصاص می دهند. چنین سری هایی دارای تعدادی ویژگی هستند که ما آنها را بدون اثبات فرمول بندی می کنیم.

حاصل ضرب دو سری کاملاً همگرا با مجموع یک سری کاملاً همگرا است که مجموع آن برابر است.

بنابراین، سری های کاملا همگرا مانند سری های معمولی جمع، تفریق و ضرب می شوند. مجموع چنین سری هایی به ترتیب نوشته شدن عبارات بستگی ندارد.

در مورد سری های مشروط همگرا، عبارات (خواص) مربوطه، به طور کلی، برقرار نیستند.

بنابراین، با تنظیم مجدد شرایط یک سری همگرا مشروط، می توان اطمینان حاصل کرد که مجموع سری تغییر می کند. مثلا یک سریال مشروط بر اساس معیار لایب نیتس همگرا می شود. مجموع این سری برابر با . بیایید اصطلاحات آن را بازنویسی کنیم تا پس از یک جمله مثبت دو جمله منفی وجود داشته باشد. یه سری میگیریم

مبلغ نصف شده!

علاوه بر این، با مرتب کردن مجدد عبارات یک سری همگرا مشروط، می توان یک سری همگرا با مجموع از پیش تعیین شده یا یک سری واگرا (قضیه ریمان) به دست آورد.

بنابراین، عملیات روی سری را نمی توان بدون اطمینان از همگرایی مطلق آنها انجام داد. برای ایجاد همگرایی مطلق، از تمام نشانه های همگرایی سری های اعداد با عبارت های مثبت استفاده می شود و در همه جا عبارت رایج با ماژول آن جایگزین می شود.

مثال 2.1. .

راه حل.سری اصلی متناوب است. اجازه دهید یک سری متشکل از مقادیر مطلق اعضای یک سری معین را در نظر بگیریم، یعنی. ردیف . از آنجا که، پس شرایط یک سری مشابه بیشتر از شرایط سری دیریکله نیست ، که به همگرایی معروف است. بنابراین، بر اساس معیار مقایسه، این سری به طور مطلق همگرا می شود. ،

مثال 2.2.سری را برای همگرایی بررسی کنید.

راه حل.

2) سری متشکل از عبارات مطلق را در نظر بگیرید. ما آن را برای همگرایی با استفاده از آزمون d'Alembert بررسی می کنیم

بر اساس معیار دالامبر، مجموعه‌ای از جمله‌های مطلق همگرا می‌شوند. این بدان معنی است که سری متناوب اصلی کاملاً همگرا می شود. ،

مثال 2.3.سری را برای همگرایی بررسی کنید .

راه حل. 1) این ردیف متناوب است. ما از معیار لایب نیتس استفاده می کنیم. بیایید بررسی کنیم که آیا شرایط وجود دارد یا خیر.

بنابراین، سری اصلی همگرا می شود.

2) سری متشکل از عبارات مطلق را در نظر بگیرید. ما آن را برای همگرایی با استفاده از آزمون مقایسه محدود بررسی می کنیم. یک سری هارمونیک را در نظر بگیرید که واگرا هستند.

در نتیجه، هر دو سری یکسان رفتار می کنند، یعنی. یک سری متشکل از عبارات مطلق نیز واگرا می شود. این بدان معنی است که سری متناوب اصلی به صورت مشروط همگرا می شود. ،

اکنون به بررسی سری هایی می پردازیم که اعضای آن اعداد واقعی هر علامتی هستند.

تعریف 1. ما سریال را صدا می زنیم

اگر سری همگرا شوند کاملاً همگرا هستند

توجه داشته باشید که این تعریف چیزی در مورد اینکه آیا خود سری (1.49) همگرا می شود یا خیر نمی گوید. به نظر می رسد که چنین فرضی غیر ضروری است، زیرا قضیه زیر درست است.

قضیه 1.9. همگرایی سری (1.50) دلالت بر همگرایی سری (1.49) دارد.

اثبات اجازه دهید از معیار کوشی برای سری استفاده کنیم (به عنوان مثال، قضیه 1.1). لازم است ثابت شود که برای هر عددی عددی وجود دارد که برای همه اعداد واجد شرط و برای هر عدد طبیعی نابرابری زیر صادق باشد:

ما هر کدام را تعمیر می کنیم. از آنجایی که سری (1.50) همگرا می شود، پس با قضیه 1.1، عددی وجود دارد که برای همه اعدادی که شرط را برآورده می کنند و برای هر عدد طبیعی، نابرابری زیر برقرار است:

از آنجایی که مدول مجموع چند جمله از مجموع مدول های آنها تجاوز نمی کند، پس

با مقایسه نابرابری های (1.52) و (1.53)، نابرابری های (1.51) را به دست می آوریم. قضیه ثابت شده است.

تعریف 2. سری (1.49) به صورت مشروط همگرا نامیده می شود اگر این سری همگرا شود، در حالی که سری متناظر مدول (1.50) واگرا می شود.

نمونه ای از یک سری کاملا همگرا یک سری است.

این سری کاملاً همگرا می شود، زیرا وقتی سری (1.33) همگرا می شود.

اجازه دهید مثالی از یک سری همگرای مشروط ارائه دهیم. اجازه دهید همگرایی مشروط سری را ثابت کنیم

از آنجایی که سری مربوط به ماژول ها (سری هارمونیک)، همانطور که قبلاً می دانیم، واگرا هستند، برای اثبات همگرایی شرطی سری (1.54) کافی است ثابت کنیم که این سری همگرا می شود. اجازه دهید ثابت کنیم که سری (1.54) به عدد همگرا می شود. در بند 2 § 9 فصل. 6 قسمت 1 ما تجزیه طبق فرمول Maclaurin تابع را به دست آوردیم

در آنجا، برای تمام x از بخش، تخمین زیر از عبارت باقی مانده به دست آمد.

ردیف

بگذارید یک سریال داده شود ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n))و α = lim ¯ n → ∞ ⁡ | a n | n (\displaystyle \alpha =\varlimsup _(n\to \infty )(\sqrt[(n)](|a_(n)|))). سپس

عبارت در مورد همگرایی در آزمون های کوشی و دالامبر از مقایسه با پیشروی هندسی (با مخرج) به دست آمده است. lim ¯ n → ∞ ⁡ | a n + 1 a n | (\displaystyle \varlimsup _(n\to \infty )\left|(\frac (a_(n+1))(a_(n)))\راست|)و α (\displaystyle \alpha)به ترتیب)، در مورد واگرایی - از این واقعیت که اصطلاح رایج سری به صفر تمایل ندارد.

علامت کوشی نشانه قوی ترآزمون دالامبر به این معنا که اگر آزمون دالامبر نشان دهنده همگرایی باشد، آزمون کوشی نیز نشان دهنده همگرایی است; اگر آزمون کوشی به فرد اجازه نمی دهد که در مورد همگرایی نتیجه گیری کند، آزمون دالامبر نیز به فرد اجازه نمی دهد که نتیجه گیری کند. سری هایی وجود دارند که آزمون کوشی نشان دهنده همگرایی است، اما آزمون دالامبر نشان دهنده همگرایی نیست.

تست انتگرال کوشی- مکلارین

بگذارید یک سریال داده شود ∑ n = 1 ∞ a n , a n ⩾ 0 (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n),a_(n)\geqslant 0)و عملکرد f (x) : R → R (\displaystyle f(x):\mathbb (R) \to \mathbb (R))به طوری که:

بعد سریال ∑ n = 1 ∞ a n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )a_(n))و انتگرال ∫ 1 ∞ f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(1)^(\infty )f(x)dx)به طور همزمان همگرا یا واگرا می شوند و ∀ k ⩾ 1 ∑ n = k ∞ a n ⩾ ∫ k ∞ f (x) d x ⩾ ∑ n = k + 1 ∞ a n (\displaystyle \forall k\geqslant 1\ \sum _(n=k)^(\ )a_(n)\geqslant \int \limits _(k)^(\infty )f(x)dx\geqslant \sum _(n=k+1)^(\infty )a_(n))

علامت رابه

بگذارید یک سریال داده شود ∑ a n (\displaystyle \sum a_(n)), a n > 0 (\displaystyle a_(n)>0)و R n = n (a n a n + 1 − 1) (\displaystyle R_(n)=n\left((\frac (a_(n))(a_(n+1)))-1\راست)).

آزمون Raabe بر اساس مقایسه با سری هارمونیک تعمیم یافته است

اقدامات روی ردیف ها

مثال ها

سریال را در نظر بگیرید 1 2 + 1 3 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 3 + . . . (\displaystyle (\frac (1)(2))+(\frac (1)(3))+(\frac (1)(2^(2)))+(\frac (1)(3^( 2)))+(\frac (1)(2^(3)))+...). برای این ردیف:

بنابراین، آزمون کوشی نشان دهنده همگرایی است، در حالی که آزمون دالامبر به ما اجازه نمی دهد که نتیجه گیری کنیم.

سریال را در نظر بگیرید ∑ n = 1 ∞ 2 n − (− 1) n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )2^(n-(-1)^(n)))

بنابراین، آزمون کوشی نشان دهنده واگرایی است، در حالی که آزمون دالامبر به ما اجازه نمی دهد که نتیجه گیری کنیم.

ردیف ∑ n = 1 ∞ 1 n α (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty)(\frac (1)(n^(\alpha ))))همگرا می شود در α > 1 (\displaystyle \alpha >1)و واگرایی در α ⩽ 1 (\displaystyle \alpha \leqslant 1)، با این حال:

بنابراین، نشانه های کوشی و دالامبر به ما اجازه نمی دهد که نتیجه گیری کنیم.

ردیف ∑ n = 1 ∞ (− 1) n n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )(\frac ((-1)^(n))(n)))مطابق با معیار لایب نیتس به طور مشروط همگرا می شود، اما نه به طور مطلق، زیرا سری هارمونیک ∑ n = 1 ∞ | (− 1) n n | = ∑ n = 1 ∞ 1 n (\displaystyle \sum _(n=1)^(\infty )\left|(\frac ((-1)^(n))(n))\راست|=\جمع _(n=1)^(\infty )(\frac (1)(n)))واگرا می شود.

، در همسایگی سمت چپ نقطه نامحدود است b (\displaystyle b). انتگرال نادرست از نوع دوم ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)dx)تماس گرفت کاملا همگرا، اگر انتگرال همگرا شود 🔻 a b | f(x) | d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)|f(x)|dx).

مثال 2.

بررسی کنید که آیا سریال همگرا می شود یا خیر.

از آنجا که

سپس مجموعه به هم نزدیک می شود.

تست همگرایی انتگرالی

معیار انتگرالی برای همگرایی با قضیه زیر بیان می شود

قضیه 1.8.

با توجه به یک سریال با اصطلاحات مثبت

اگر در تابع پیوسته، مثبت و افزایش نمی یابد و در نقاطی مقادیر را به خود می گیرد، سری(1.23) و انتگرال نامناسب(1.24) به طور همزمان همگرا یا واگرا شوند.

اثبات

اگر ، سپس کجا

;

اگر انتگرال (1.24) همگرا شود و ، آن با هر طبیعی از این رو،

.

از آنجایی که دنباله به طور یکنواخت در حال افزایش و محدود است، پس وجود دارد، یعنی. سری (1.23) نیز همگرا می شود. اگر سری (1.23) همگرا شود و برای هر .

از برابری (1.26) چنین بر می آید که در هر . انتگرال نامناسب نیز همگرا می شود.

با استفاده از آزمون انتگرال می توان ثابت کرد که سری

(1.27)

هر عدد واقعی کجاست، همگرا می شود و در آن واگرا می شود.

در واقع، در همگرا می شود و در آن واگرا می شود.

ردیف های متناوب آزمون لایب نیتس

متناوببعدی یک سری است که هر دو عبارت با اعداد و دارای علائم متضاد هستند، یعنی سری از فرم

(1.30)

اثبات

اجازه دهید مجموع جزئی سری (1.28) با اعداد زوج و فرد را در نظر بگیریم:

بیایید اولین حاصل از این مجموع را تبدیل کنیم:

با توجه به شرط (1.29)، تفاوت در هر براکت مثبت است، بنابراین مجموع و برای همه بنابراین، دنباله مجموع جزئی به طور یکنواخت در حال افزایش و محدود است. حدی دارد که آن را با نشان می دهیم، یعنی. . از آنجا که ، سپس با در نظر گرفتن تساوی و شرط قبلی (1.30) بدست می آوریم

بنابراین، دنباله مجموع جزئی یک سری داده شده به ترتیب با اعداد زوج و فرد دارای حد یکسانی هستند. نتیجه این است که دنباله تمام مجموع جزئی یک سری محدودیت دارد. آن ها سری همگرا می شود

مثال.

بررسی کنید که آیا یک سری همگرا می شود یا خیر

(1.31)

این سریال متناوب است. همگرا می شود زیرا شرایط قضیه را برآورده می کند

تخمین باقی مانده یک سری متناوب با استفاده از قضیه زیر تعیین می شود.

قضیه 1.10.

مجموع باقی مانده یک سری متناوب که شرایط قضیه لایب نیتس را برآورده می کند، علامت اولین جمله باقیمانده را دارد و از نظر مقدار مطلق از آن تجاوز نمی کند.

اثبات

اجازه دهید باقی مانده سری (1.28) را بعد از شرایط در نظر بگیریم. اجازه دهید مجموع آن، -i مجموع جزئی، سپس

از آنجایی که شرایط قضیه 1.9 برآورده می شود، پس جلوی همه، یعنی ، جایی که

یا

به طور مشابه ثابت شده است که مجموع باقی مانده سری بعد از شرایط شرایط را برآورده می کند ، یعنی و .

بنابراین، صرف نظر از زوج یا فرد

مجموعه ای متشکل از ماژول های اعضای این مجموعه را در نظر بگیرید:

(1.34)

قضیه 1.11.

اگر ردیف(1.34) همگرا می شود، سپس سری همگرا می شود(1.33).

اثبات

از آنجایی که سری (1.34) همگرا می شود، پس به موجب معیار کوشی (قضیه 1.1) برای هر یک چنین عددی وجود دارد، پس برای همه و هر عدد صحیح نابرابری برقرار است.

.

که . این بدان معنی است که سری (1.33) نیز همگرا می شود.

اظهار نظر.

همگرایی سری (1.33) به معنای همگرایی سری (1.34) نیست. مثلا یک سریال همگرا می شود (به بخش 1.6 مراجعه کنید)، و سری مدول های اعضای آن واگرا می شود (سری هارمونیک، به بخش 1.2 مراجعه کنید).

کاملا همگرا،اگر یک سری مدول از عبارت های آن همگرا شوند. مثلا یک سریال

کاملاً همگرا است، زیرا مجموعه مدول‌های اصطلاحات آن همگرا هستند، یعنی. سری (پیشرفت هندسی با مخرج , ).

یک سری متناوب نامیده می شود غیر مطلقا همگرا (مشروط همگرا)اگر همگرا شود، اما سری مدول های اعضای آن واگرا شود. به عنوان مثال، سریال کاملاً همگرا نیست (به تبصره مراجعه کنید).

اقدامات روی ردیف ها

محصول سریال

قضیه 1.12.

اگر ردیف(1.35) همگرا می شود، سپس سری(1.36) همگرا می شود و

(1.37)

اثبات

اجازه دهید مجموع جزئی سری (1.35) و (1.36) را با u - e نشان دهیم.

به طور مشخص، . اگر سری (1.35) همگرا شود و مجموع آن برابر باشد، یعنی. , , اون

علاوه بر سری (1.35)، سری را نیز در نظر بگیرید

نیز به طور مطلق همگرا می شود و مجموع آن برابر است با

اظهار نظر.

قوانین عملکرد بر روی سری ها همیشه با قوانین عملکرد بر روی مجموع محدود منطبق نیست. به طور خاص، در مجموع محدود می توانید خودسرانه ترتیب عبارت ها را تغییر دهید، اصطلاحات را هر طور که دوست دارید گروه بندی کنید، و مجموع تغییر نخواهد کرد. شرایط یک جمع نهایی را می توان به ترتیب معکوس اضافه کرد؛ این برای یک سری امکان پذیر نیست، زیرا ترم آخر ندارد.

همیشه امکان گروه بندی اعضا در یک سریال وجود ندارد. مثلا یک سریال

واگرا است زیرا

و محدودیتی برای مقادیر جزئی آن وجود ندارد. پس از گروه بندی اعضا

یک سری همگرا به دست می آوریم، مجموع آن صفر است. با گروه بندی متفاوتی از اعضا

یک سری همگرا بدست می آوریم که مجموع آن برابر با یک است.

ما دو قضیه را بدون اثبات ارائه می کنیم.

قضیه 1.14.

تنظیم مجدد شرایط یک سری کاملاً همگرا، همگرایی آن را نقض نمی کند؛ مجموع مجموعه ها ثابت می ماند.

قضیه 1.15.

اگر یک سری به طور مطلق همگرا نباشد، با مرتب کردن مجدد شرایط آن، همیشه ممکن است به مجموع سری یک مقدار دلخواه داد و حتی سری را واگرا کرد.