Какви форми могат да се направят от лист Мьобиус. Лентата на Мьобиус - невероятно откритие

Лентата на Мьобиус е топологична, т.е. непрекъснат обект с най-простата едностранна повърхност с граница в обикновеното евклидово пространство (3-измерно), където е възможно от една точка на такава повърхност да стигнете до всяка друга, без да пресичате ръбовете.

Кой го отвори и кога?

Такъв сложен обект като лентата на Мьобиус беше открит по доста необичаен начин. На първо място, отбелязваме, че двама математици, напълно несвързани помежду си в своите изследвания, го откриват по едно и също време - през 1858 г. Друг интересен факт е, че и двамата учени по различно време са били ученици на един и същи велик математик - Йохан Карл Фридрих Гаус. И така, до 1858 г. се смяташе, че всяка повърхност трябва да има две страни. Въпреки това Йохан Бенедикт Листинг и Август Фердинанд Мьобиус откриват геометричен обект, който има само една страна и описват неговите свойства. Лентата е кръстена на Мьобиус, но тополозите смятат Листинг и неговата работа „Предварителни изследвания в топологията“ за основател на „гумената геометрия“.

Имоти

Лентата на Мьобиус има следните свойства, които не се променят, когато се компресира, нарязва по дължина или смачква:

2. Непрекъснатостта се изразява в това, че всяка точка от тази геометрична фигура може да бъде свързана с всяка друга точка, без да се пресичат границите на повърхността на Мьобиус.

3. Свързаността или двуизмерността се състои в това, че при нарязване на лентата по дължина от нея няма да се получат няколко различни форми и тя остава твърда.

5. Специално хроматично число, показващо максималния възможен брой области на повърхността на Мьобиус, които могат да бъдат създадени, така че всяка от тях да има обща граница с всички останали. Лентата на Мьобиус има хроматично число 6, но хартиеният пръстен има хроматично число 5.

Научна употреба

По този начин съществува хипотеза, според която Вселената е огромна примка на Мобиус. Това косвено се доказва от теорията на относителността на Айнщайн, според която дори кораб, летящ направо, може да се върне в същата времева и пространствена точка, от която е тръгнал.

Според физиците много оптични закони се основават на свойствата на лентата на Мьобиус. Така например огледалното отражение е специално прехвърляне във времето и човек вижда огледалото си двойно пред себе си.

Прилагане на практика

Лентата на Mobius се използва в различни индустрии от дълго време. Великият изобретател Никола Тесла в началото на века изобретява резистора на Мобиус, състоящ се от две проводими повърхности, усукани на 1800, които могат да устоят на потока на електрически ток, без да създават електромагнитни смущения.

Въз основа на изследванията на повърхността на лентата на Мьобиус и нейните свойства са създадени много устройства и инструменти. Формата му се повтаря при създаването на лентови конвейерни ленти и мастилени ленти в печатащи устройства, абразивни ленти за заточване на инструменти и автоматични трансфери. Това ви позволява значително да увеличите експлоатационния им живот, тъй като износването става по-равномерно.

Неотдавна удивителните характеристики на лентата на Мобиус направиха възможно създаването на пружина, която, за разлика от конвенционалните пружини, които се задействат в обратна посока, не променя посоката на действие. Използва се в стабилизатора на задвижването на волана, осигурявайки връщането на волана в първоначалното му положение.

Освен това знакът с лентата на Мьобиус се използва в различни марки и лога. Най-известният от тях е международният символ на рециклирането. Поставя се върху опаковките на стоки, които могат да се рециклират или са направени от рециклирани ресурси.

Източник на творческо вдъхновение

Лентата на Мьобиус и нейните свойства формират основата за работата на много художници, писатели, скулптори и режисьори. Най-известният художник, който използва лентата и нейните характеристики в произведения като „Лентата на Мобиус II (Червени мравки)“, „Ездачи“ и „Възли“, е Мауриц Корнелис Ешер.

Лентите на Мьобиус или повърхностите с минимална енергия, както още ги наричат, са се превърнали в източник на вдъхновение за математически художници и скулптори като Брент Колинс и Макс Бил. Най-известният паметник на лентата на Мобиус е инсталиран на входа на Музея за история и технологии във Вашингтон.

Руските художници също не останаха настрана от тази тема и създадоха свои собствени произведения. Скулптурите на Лентата на Мобиус са поставени в Москва и Екатеринбург.

Литература и топология

Необичайните свойства на повърхностите на Мьобиус са вдъхновили много писатели да създават фантастични и сюрреалистични творби. Примката на Мобиус играе важна роля в романа на Р. Зелазни „Врати в пясъка“ и служи като средство за движение през пространството и времето за главния герой на романа „Некроскоп“ на Б. Лъмли.

Тя също се появява в разказите „Стената на мрака“ от Артър С. Кларк, „На лентата на Мобиус“ от М. Клифтън и „Ивицата на Мобиус“ от А. Дж. Дейч. Въз основа на последния режисьорът Густаво Москера направи фантастичния филм „Мобиус“.

Ние го правим сами, със собствените си ръце!

Ако се интересувате от лентата на Mobius, как да направите модел от нея, малка инструкция ще ви каже:

1. За да направите неговия модел ще ви трябва:

Лист обикновена хартия;

ножици;

Владетел.

2. Изрежете лента от лист хартия, така че ширината й да е 5-6 пъти по-малка от дължината.

3. Поставете получената хартиена лента върху равна повърхност. Държим единия край с ръка, а другия завъртаме на 1800, така че лентата да се усуче и грешната страна да стане предната.

4. Залепете краищата на усуканата лента заедно, както е показано на фигурата.

Лентата на Мобиус е готова.

5. Вземете химикал или маркер и започнете да рисувате път в средата на лентата. Ако сте направили всичко правилно, ще се върнете на същата точка, от която сте започнали да рисувате линията.

За да получите визуално потвърждение, че лентата на Мьобиус е едностранен обект, опитайте се да нарисувате една от страните й с молив или химикал. След известно време ще видите, че сте го боядисали напълно. публикувано от econet.ru

източници

Техника - младежи 1984-09г., стр.65

Арнт Анастасия

Статията обсъжда историята на откриването на лентата на Мьобиус и експериментите, които могат да бъдат извършени с лентата на Мьобиус.

Изтегли:

Преглед:

Общинско бюджетно учебно заведение

"Весенненска гимназия"

Коледни четения

Номинация: "Точни науки"

Тайните на лентата на Мьобиус

Арнт Анастасия

Ученик от 5 клас

Ръководител:

Арнт Ирина

Василевна,

Учител по математика

с. Пролет

2014 година

Въведение. ………………………………………………………..…..…..… С. 3

Глава I. Историческа справка. .....………………………………....... С. 3-4

Глава II. Лента на Мьобиус. ………………………………………….....…….С. 4-9

§1. Изработване на лента на Мьобиус. ……………………………………………..С. 4

§2. Експерименти с лентата на Мьобиус. ……..………………………......С. 4-6

§3. Приложение на лентата на Мьобиус в живота. …………………………….. стр.7-9

Заключение. ………………………………………..………………………………………………………………………………………………………………………… 9

Литература. ……………………………………………………………..….С. 10

Въведение.

Всеки от нас има интуитивна представа за това какво е "повърхност". Повърхността на лист хартия, повърхността на стените на класната стая, повърхността на земното кълбо са известни на всички. Може ли да има нещо неочаквано и дори мистериозно в толкова обикновена концепция? Примерният лист на Мьобиус показва, че може. Много хора знаят какво представлява лентата на Мьобиус (лента). За тези, които все още не са запознати с удивителния работен лист, който принадлежи към „математическите изненади“, ви каним да изследвате с нас и да се потопите в яркото усещане на знанието.

Много се заинтересувах от тази тема. Реших да задълбоча знанията си в тази област.

Целта на моята работа: да изследвам лентата на Мьобиус като един от обектите на топологията.

Цели: - събиране на цялата възможна информация за лентата на Мьобиус;

Експериментално изследване на свойствата на лентата на Мьобиус;

Покажете използването на лентата на Мьобиус в живота.

Глава I. Историческа справка.

Мистериозен и известенЛентата на Мьобиус е открита независимо от немските математици Август Фердинанд Мьобиус и Йохан Бенедикт Листинг през 1858 г.

Август Фердинанд Мобиус(1790-1868), роден в град Шулпфорте, немски геометър, ученик на „краля на математиците” известния К.Ф. Гаус. Мобиус първоначално е астроном. Професор в Лайпцигския университет от 1816 г. Той започва да провежда независими астрономически наблюдения в обсерваторията в Плейзенбург през 1818 г. става негов директор. Работейки в тиха самота, Мьобиус прави много интересни открития, той става един от най-големите геометри на 19 век. На 68-годишна възраст той успява да направи откритие с удивителна красота. Това е откриването на едностранни повърхности, една от които е лентата на Мьобиус.Това е най-значимото събитие в живота му!

Казват, че Мобиус е помогнал да отвори своя „лист“ от прислужница, която е зашила неправилно краищата на лентата.

В историята често има случаи, когато една идея хрумва на няколко изобретатели едновременно. Това се случи с лентата на Мьобиус.

През същата 1858 г. идеята за лентата дойде на друг учен, ученик на K.F. Гаус -Йохан Бенедикт Листинг(1808-1882), немски математик и физик, професор в университета в Гьотинген. Той даде името на науката, която изучава непрекъснатостта -топология

Топологията изучава свойствата на геометричните форми, които не се променят, ако са огънати, разтегнати или компресирани. Първенството в откриването на топологичен обект - лента - отиде при Август Мобиус.

Какво порази тези двама немски професори? И фактът, че лентата на Мьобиус има само една страна.

Глава II. Лента на Мьобиус.

§1. Изработване на лента на Мьобиус.

Лентата на Мьобиус се прави много лесно, държи се в ръцете, изрязва се, експериментира се по друг начин. Изучаването на лентата на Мьобиус е добро въведение в елементите на топологията.

Лентата на Мьобиус е една от онези математически изненади. За да направите лента на Мьобиус, вземете правоъгълна лента ABB 1 A 1 , завъртете го на 180 градуса и залепете противоположните страни AB и A 1 в 1 , т.е. така че точките А и В да съвпадат 1 и точки А 1 и Б.

Получаваме усукан пръстен.И се питаме: колко страни има този лист хартия? Две, като някой друг? Не. Има ЕДНА страна. не ми вярваш

§ 2. Опити с лентата на Мьобиус.

За да проуча свойствата му, проведох няколко експеримента, които разделих на две групи:

I група.

Опит No1 . Започнах да рисувам лентата на Мьобиус, без да я обръщам.

Резултат. Лентата на Мьобиус беше изцяло боядисана.

„Ако някой реши да нарисува само едната страна на повърхността на лента на Мьобиус, нека незабавно да я потопи цялата в кофа с боя“, пишат Ричард Курант и Хърбърт Робинс в отличната книга „Какво е математика?“

Опит No2.

Представете си, че шейпшифтър пътува по лента на Мьобиус и след като измине целия път, той ще се върне в началната точка. Едновременно ще обикаля и двете повърхности – външна и вътрешна, без да пресича ръбовете.Това доказва товалентата на Мьобиус е едностранна повърхност Той се върна в началната точка. Но под каква форма! Обърнат!

И за да се върне на старта в нормална позиция, той трябва да направи още едно „кръглолистно“ пътуване. Лентата на Мьобиус има само една страна!

II група експерименти, свързани с изрязване на лентата на Мьобиус.

Проведох серия от експерименти, резултатите от които бяха въведени в таблица.

опит	Описание на преживяването	Резултат
	Един обикновен пръстен беше разрязан надлъжно в средата.	Имаме два прости пръстена с еднаква дължина, два пъти по-широки.
	Лентата на Мьобиус беше разрязана по средата.	Получихме 1 пръстен, чиято дължина е два пъти по-дълга, ширината е два пъти по-тясна, усукана на 1 пълен оборот.
	Изрежете лентата на Мьобиус, като се отдръпнете от ръба с около една трета от нейната ширина.	Получавате две ленти, едната е по-къса лента на Мьобиус, другата е по-дълга. лента с два полуоборота.
	Разделете лента с ширина 4 см на четири равни части, започнете да режете на разстояние 1 см от ръба.	Получавате две панделки, едната равна на дължината на оригинала, другата дълга.
	Изрежете лента на Мьобиус с ширина 5 cm по дължина на разстояние 1 cm от ръба.	Ще получите два пръстена, свързани един с друг: лента на Мьобиус с ширина 3 см, равна на дължината на оригинала и 1 см ширина, два пъти по-голяма от дължината на оригинала, усукана на два пълни оборота.
	Залепете лентата на Мьобиус, като я завъртите два пъти.	Получаваме две ленти на Мьобиус, свързани една с друга.

Това са неочакваните неща, които се случват с обикновена лента хартия, ако я залепите заедно в лента на Мьобиус.

§3. Приложение на лентата на Мьобиус в живота.

Докато вършех тази работа, стигнах до извода, че въпреки че лентата на Мьобиус е открита още през 19 век, тя е уместна както през 20, така и през 20 век.

Удивителните свойства на лентата на Мьобиус са били и се използват в технологиите, физиката и оптиката. Той е вдъхновил творчеството на много писатели и художници.

Любопитно е, че лентата на Мобиус продължава да вълнува умовете на изобретателите дори и сега. В много страни по света са патентовани невероятни механизми, базирани на него.

Лентата на Мьобиус в техниката и физиката

На магнитните ленти, завъртяни от Мобиус, обемът на записаната информация се удвоява ииграе два пъти по-дълго.Създадени са специални касети, които позволяват да ги слушате от „двете страни“, без да променяте местата.

Тази лента работи чудесно за връзване и пренасяне на товари в пристанища. Конвейерните ленти за преместване на горещи материали, ако се обърнат според Мьобиус, ще се редуват да „почиват“ от горещите материали. В резултат на това охлаждането на колана се подобрява и коланът се износва равномерно, което означава, че ще издържи по-дълго.Това осигурява значителни спестявания.

Лентата на Мьобиус в природата и в живота.

Има хипотеза, че самата спирала на ДНК също е фрагмент от лента на Мьобиус и това е единствената причина генетичният код да е толкова труден за дешифриране и възприемане. Освен това такава структура съвсем логично обяснява причината за настъпването на биологичната смърт - спиралата се затваря в себе си и настъпва самоунищожение.

Лентата на Мьобиус в изкуството.

Мистериозната лента на Мьобиус винаги е вълнувала умовете на писатели, художници и скулптори. Лентата на Мьобиус служи като вдъхновение за скулптури и графично изкуство. Ешер беше един от художниците, които го обичаха особено и посвети няколко от своите литографии на този математически обект. Един известен показва мравки, пълзящи по повърхността на лента на Мьобиус.

Широко известни са и неговите рисунки, изобразяващи лента на Мьобиус.

Много интересни са паметниците, посветени на лентата на Мьобиус.

Улиците на много градове са украсени със скулптури, базирани на темата за лентата на Мобиус.

Бижутерите посветиха своите творби на лентата на Мьобиус.

Лентата на Мьобиус е изобразена на различни емблеми и е изобразена на значката на Механико-математическия факултет на Московския университет.

Международният символ за рециклиране също е лентата на Мьобиус.

Освен това кратер от обратната страна на Луната е кръстен на Мьобиус.

Архитектите използват лентата на Мьобиус по новаторски начини. Ето как изглежда например невероятният проект за нова библиотека в Астана (Казахстан).

Заключение.

Лентата на Мьобиус има много интересни свойства.

Лентата на Мьобиус има един ръб.
Лентата на Мьобиус има една страна.
Лентата на Мьобиус е топологичен обект. Като всяка топологична фигура, лентата на Мьобиус не променя свойствата си, докато не бъде нарязана, разкъсана или отделните й части не бъдат залепени заедно.
Единият ръб и едната страна на лентата на Мьобиус не са свързани с нейното положение в пространството и не са свързани с понятията за разстояние.

Лентата на Мьобиус е първата открита едностранна повърхност. По-късно математиците откриха цяла поредица от едностранни повърхности. В тази работа се опитах да опиша свойствата на красива повърхност - лентата на Мобиус, да покажа нейното значение на практика и да докажа, че лентата на Мобиус е топологична фигура.

Въпреки факта, че Мьобиус е направил своето удивително откритие преди много време, то е много популярно и днес:

Математиците са подложени на допълнителни изследвания;
за учениците е много интересно да експериментират с лентата на Мьобиус;
в технологиите – откриват се нови начини за използване на лентата на Мьобиус.

Не съм изчерпал експериментите с лентата на Мьобиус. Те са безкрайни, интересни и зависят от собственото ви търпение. В бъдеще смятам да продължа да изследвам това непредвидимо листо.

Литература.

Волошинов А.В., „Математика и изкуство” М.: „Просвещение”, 1996.
Вестник "Математика" приложение на издателство "Първи септември", бр.14 1999г., бр.24 2006г.
Гарднър М. “Математически чудеса и мистерии”, “Наука” 1978 г.
Гусев В.А., Комбаров А.П. „Математическа загрявка” М.: „Просвещение”, 1986 г.
Ресурси на интернет сайта:http://ru.wikipedia.
Kordemsky B. A. Направи си сам топологични експерименти. Квант, 1974, № 3.

Нека си представим повърхност и мравка, седнала на нея. Ще успее ли мравката да пропълзи до другата страна на повърхността – образно казано, до долната й страна, без да се катери по ръба? Разбира се, че не!

Август Фердинанд Мобиус (1790-1868)

Първият пример за едностранна повърхност, до всяко място, на което мравка може да пропълзи, без да се катери през ръба, е даден от Мобиус през 1858 г.

Лентата на Мьобиус, наричана още контур, повърхност или лист, е обект на изследване в математическата дисциплина топология, която изучава общите свойства на фигурите, които се запазват при такива непрекъснати трансформации като усукване, разтягане, компресия, огъване и други не свързани с нарушаване на целостта . Удивителна и уникална характеристика на такава лента е, че тя има само една страна и ръб и по никакъв начин не е свързана с местоположението й в пространството. Лентата на Мьобиус е топологична, т.е. непрекъснат обект с най-простата едностранна повърхност с граница в обикновеното евклидово пространство (3-измерно), където е възможно от една точка на такава повърхност да стигнете до всяка друга, без да пресичате ръбовете.

Август Фердинанд Мьобиус (1790-1868) – ученик на „краля” на математиците Гаус. Мьобиус първоначално е астроном, подобно на Гаус и много други, на които математиката дължи своето развитие. В онези дни математиката не се поддържаше, а астрономията осигуряваше достатъчно пари, за да не мислиш за тях, и оставяше време за собствените си мисли. И Мьобиус става един от най-големите геометри на 19 век.

На 68-годишна възраст Мьобиус прави откритие с удивителна красота. Това е откриването на едностранни повърхности, една от които е лентата (или лентата) на Мьобиус. Мьобиус дойде с идеята за панделката, когато забеляза прислужница, която носеше шала си неправилно около врата си.
В евклидовото пространство всъщност има два вида наполовина обърната лента на Мьобиус: едната - по посока на часовниковата стрелка, другата - обратно на часовниковата стрелка.

1. Наличието на една страна. А. Мобиус в работата си „За обема на полиедрите“ описва геометрична повърхност, по-късно наречена в негова чест, само с една страна. Много е лесно да проверите това: вземете лента или лента на Мобиус и се опитайте да нарисувате вътрешността с един цвят, а външната страна с друг. Няма значение в кое място и посока е започнало оцветяването, цялата фигура ще бъде боядисана с един и същи цвят.
2. Непрекъснатостта се изразява в това, че всяка точка от тази геометрична фигура може да бъде свързана с всяка друга точка, без да се пресичат границите на повърхността на Мьобиус.
3. Свързаността или двуизмерността се състои в това, че при нарязване на лентата по дължина от нея няма да се получат няколко различни форми и тя остава твърда.

4. Липсва му такова важно свойство като ориентация. Това означава, че човек, който следва тази фигура, ще се върне в началото на своя път, но само в огледален образ на себе си. Така една безкрайна лента на Мьобиус може да доведе до вечно пътуване.
5. Специално хроматично число, показващо максималния възможен брой области на повърхността на Мьобиус, които могат да бъдат създадени, така че всяка от тях да има обща граница с всички останали. Лентата на Мьобиус има хроматично число 6, но хартиеният пръстен има хроматично число 5.

Днес лентата на Мьобиус и нейните свойства се използват широко в науката, като служат като основа за изграждане на нови хипотези и теории, провеждане на изследвания и експерименти и създаване на нови механизми и устройства. По този начин съществува хипотеза, според която Вселената е огромна примка на Мобиус. Това косвено се доказва от теорията на относителността на Айнщайн, според която дори кораб, летящ направо, може да се върне в същата времева и пространствена точка, от която е тръгнал.

Друга теория разглежда ДНК като част от повърхността на Мобиус, което обяснява трудността при разчитането и дешифрирането на генетичния код. Освен всичко друго, такава структура дава логично обяснение за биологичната смърт - спирала, затворена върху себе си, води до самоунищожение на обекта. Според физиците много оптични закони се основават на свойствата на лентата на Мьобиус. Така например огледалното отражение е специално прехвърляне във времето и човек вижда огледалото си двойно пред себе си.

Ако се интересувате от лентата на Mobius, как да направите модел от нея, малка инструкция ще ви каже:
1. За да направите модела му ще ви трябва: - лист обикновена хартия;
- ножици;
- владетел.
2. Изрежете лента от лист хартия, така че ширината й да е 5-6 пъти по-малка от дължината.
3. Поставете получената хартиена лента върху равна повърхност. Хващаме единия край с ръка, а другия завъртаме на 180*, така че лентата да се усуче и грешната страна да стане лицева.
4. Залепете краищата на усуканата лента заедно, както е показано на фигурата.

Лентата на Мобиус е готова.
5. Вземете химикал или маркер и започнете да рисувате път в средата на лентата. Ако сте направили всичко правилно, ще се върнете на същата точка, от която сте започнали да рисувате линията.

Лентата на Мьобиус служи като вдъхновение за скулптури и графично изкуство. Ешер беше един от художниците, които го обичаха особено и посвети няколко от своите литографии на този математически обект. Една от най-известните е лентата на Мьобиус II, която показва мравки, пълзящи по повърхността на лента на Мьобиус.

Лентата на Мьобиус е емблемата на поредицата научнопопулярни книги от поредицата „Квантова библиотека“. Също така се появява редовно в научната фантастика, като например в историята на Артър С. Кларк „Стената на мрака“. Понякога научнофантастичните истории (следвайки теоретичните физици) предполагат, че нашата Вселена може да е някакъв вид обобщена лента на Мьобиус. Също така пръстенът на Мобиус постоянно се споменава в произведенията на уралския писател Владислав Крапивин, цикълът „В дълбините на Великия кристал“ (например „Аванпост на полето на котвата. Приказка“). В разказа „The Mobius Strip“ от A. J. Deitch бостънското метро изгражда нова линия, чийто маршрут става толкова объркващ, че се превръща в лента на Mobius, което кара влаковете да изчезнат по линията. Въз основа на историята е заснет научнофантастичният филм „Мобиус“, режисиран от Густаво Москера. Също така идеята за лентата на Мьобиус се използва в историята на М. Клифтън „На лентата на Мьобиус“.

Лентата на Мобиус се използва като начин Хари Кийф, главният герой от романа на Брайън Лъмли Некроскоп, да пътува през пространството и времето.

Лентата на Мьобиус играе важна роля в научнофантастичния роман на Р. Зелазни „Врати в пясъка“.

В книгата на Е. Наумов „Полуживот“ (1989) интелектуалец алкохолик пътува из страната, стоящ на лента на Мобиус.

Потокът на романа „Ехо” на съвременния руски писател Алексей Шепелев се сравнява с лентата на Мьобиус. От анотацията към книгата: „„Ехо“ е литературна аналогия на пръстена на Мобиус: две сюжетни линии - „момчета“ и „момичета“ - са преплетени, преливат една в друга, но не се пресичат.

Лентата на Мьобиус се появява и в есето на Харуки Мураками „Obladi Possessed“ от сборника „Радио Мураками“ от 2010 г., където лентата на Мьобиус образно се сравнява с безкрайността.

Във визуалната новела на ХАРОН "Макото Мобиус" главният герой Уатаро се опитва да спаси свой съученик от смърт, използвайки магически артефакт - лентата на Мобиус.

През 1987 г. съветският джаз пианист Леонид Чижик записва албума „Mobius Strip“, който включва едноименната композиция.

Състезателната писта в един от епизодите (сезон 7, епизод 14, 11 минути) на анимационния сериал „Футурама“ е лента на Мобиус.

Има технически приложения за лента на Мьобиус. Транспортна лента, проектирана като лента на Мьобиус, ще издържи по-дълго, защото цялата повърхност на лентата се износва равномерно. Системите за запис на непрекъснат филм също използват ленти на Мьобиус (за удвояване на времето за запис). В много матрични принтери мастилената лента има и формата на лента на Мьобиус, за да увеличи ресурса си.

Също така над входа на Централния икономико-математически институт на Руската академия на науките има мозаечен висок релеф „Ивицата на Мобиус“ от архитекта Леонид Павлов в сътрудничество с художниците Е. А. Жаренова и В. К. Василцов (1976 г.)

Архитектурни решения по идеята за лентата на Мьобиус:

Бижута под формата на лента на Мьобиус:

Има технически приложения за лента на Мьобиус. Лентата на транспортната лента е изработена под формата на лента на Мьобиус, което позволява по-продължителна работа, тъй като цялата повърхност на лентата се износва равномерно. Системите за запис на непрекъснат филм също използват ленти на Мьобиус (за удвояване на времето за запис). В много матрични принтери мастилената лента има и формата на лента на Мьобиус, за да увеличи ресурса си.

Устройство, наречено резистор на Мьобиус, е наскоро изобретен електронен елемент, който няма собствена индуктивност. Лентите на Мьобиус също се използват в системи за запис на непрекъснат филм (за удвояване на времето за запис); в матричните принтери мастилената лента също има формата на лента на Мьобиус, за да се увеличи срокът на годност.

Магически, нереални - това са всички прилагателни, с които може да се опише една лента на Мьобиус. Една от най-големите мистерии на нашето време. Може би именно лентата на Мобиус крие мистериите на взаимодействието на всичко, което съществува в нашата Вселена. Тази фигура има мистериозни свойства и съвсем реални приложения.

Лентата на Мьобиус е една от най-необикновените геометрични фигури. Въпреки необичайния си характер, лесно се приготвя у дома.

Лентата на Мьобиус е триизмерна неориентируема фигура с една граница и една страна. Това го прави уникален и различен от всички други предмети, които могат да се срещнат в ежедневието. Лентата на Мьобиус се нарича още лента на Мьобиус и повърхност на Мьобиус. Отнася се за топологични обекти, тоест непрекъснати обекти. Такива обекти се изучават от топологията - наука, която изучава непрекъснатостта на околната среда и пространството.

Интерес предизвиква самото отваряне на лентата. Двама несвързани математици го откриват през една и съща година, 1858 г. Тези откриватели са Август Фердинанд Мьобиус и Йохан Бенедикт Листинг.

Лентите се разграничават условно по метода на сгъване: по посока на часовниковата стрелка и обратно на часовниковата стрелка. Наричат се още дясно и ляво. Но е невъзможно да се различи вида на лентата по око.

Създаването на такава фигура е изключително просто: трябва да вземете ABCD лента. Сгънете го така, че да свържете точките A и D, B и C, и залепете свързаните краища.

Някои смятат, че тази мистериозна геометрична фигура е прототип на обърната осмица-безкрайност, но всъщност това не е вярно. Този символ е въведен за употреба много преди да бъде открита лентата на Мьобиус. Но определено има сходство в значението на тези цифри. Мистиците наричат лентата на Мьобиус символ на двойственото възприятие на едното. Лентата на Мобиус сякаш говори за взаимопроникването, взаимосвързаността и безкрайността на всичко в нашия свят. Нищо чудно, че често се използва като емблема и търговска марка. Например международният символ за рециклиране изглежда като лента на Мьобиус. Лентата на Мобиус може да бъде и уникална илюстрация на определени природни явления, например кръговрата на водата.

Лентата на Мьобиус има характерни свойства, които не се променят, ако лентата бъде компресирана, смачкана или нарязана по дължина.

Тези свойства включват:

Едностранчивост. Ако вземете лента на Мьобиус и започнете да рисувате на произволно място и посока, постепенно цялата фигура ще бъде изрисувана изцяло, без да е необходимо да обръщате фигурата.
Приемственост. Всяка точка от тази фигура може да бъде свързана с друга точка, без изобщо да излиза извън ръбовете на лентата.
Бисвързаност (или двуизмерност). Лентата остава непокътната, ако я разрежете по дължина. В този случай няма да произведе две различни фигури.
Липса на ориентация. Ако си представим, че човек може да следва тази фигура, тогава когато се върне към началната точка на пътуването, той ще се превърне в собственото си отражение. Пътуването по листа на безкрайността може да продължи вечно.

Ако вземете ножица и направите малко магия върху тази мистериозна повърхност, ще можете да създадете допълнителни необичайни форми. Ако го разрежете по дължина, по линия, еднакво отдалечена от краищата, ще получите усукана „афганистанска лента“. Ако получената лента се раздели по дължина, в средата, тогава се образуват две ленти, проникващи една в друга. Ако поставите няколко ленти една върху друга и ги свържете в лента на Мобиус, тогава ако разгънете такава фигура, отново ще получите „афганистанска лента“.

Ако изрежете лента на Мьобиус с три или повече полуоборота, получавате пръстени, наречени парадромни пръстени.

Ако залепите две ленти на Мобиус заедно по границите, ще получите друга невероятна фигура - бутилка Клайн, но тя не може да бъде направена в обикновено триизмерно пространство.

Ако изгладите някои от краищата на лентата на Мьобиус, ще получите невъзможен триъгълник на Пенроуз. Това е илюзия на плосък триъгълник; когато го погледнете, изглежда триизмерен.

Лентата на Мьобиус е неизчерпаем източник за творчеството на писатели, художници и скулптори. Споменаването му често се среща във фентъзи и мистичната литература. Свойствата му бяха в основата на художествената фантастика за произхода на Вселената, устройството на задгробния живот и движението във времето и пространството. Лентата на Мьобиус е спомената в своите творби от Артър Кларк, Владислав Крапивин, Хулио Кортасар, Харуки Мураками и много други.

Известният художник Ешер създава редица литографии с помощта на лента. В най-известната му творба мравките пълзят по лента на Мьобиус.

Свойствата на лентата на Mobius ще ви позволят да покажете интересни трикове. Нека да разгледаме един от най-известните. Две ленти на Мьобиус, направени от калиев нитрат, са окачени и магьосникът докосва запалена цигара до средната линия на всяка от тях. Пламтящият пламък ще удължи първата лента и ще превърне втората в две, свързани една с друга. Популярното влакче в увеселителен парк е направено във формата на лента на Мьобиус. Бижутерите често използват тази геометрична фигура, когато създават дизайн на бижута.

Лентите на Мобиус се използват широко в науката и индустрията. Той е източник на много научни изследвания и хипотези. Има например теория, че ДНК е част от лента на Мьобиус. Генетичните изследователи вече са се научили как да режат едноверижна ДНК, за да създадат лента на Мьобиус. Физиците казват, че оптичните закони се основават на свойствата на лентата на Мьобиус. Например отражението в огледалото е вид движение във времето по подобна траектория. Има научна хипотеза, че Вселената е гигантска лента на Мьобиус.

В началото на 20 век Никола Тесла изобретява резистора на Мьобиус, който устоява на потока от електричество, без да причинява електромагнитни смущения. Състои се от две проводими повърхности, които са усукани на 180°, за да образуват лента на Мьобиус.

Лентата на транспортната лента (машина за непрекъснат транспорт) е изработена във формата на лента на Мьобиус. Тази повърхност ви позволява да увеличите живота на лентата, тъй като нейното износване ще настъпи равномерно. Формата на лентата на Мьобиус се използва и при запис върху непрекъснат филм.

Лентата на Mobius се използва в матрични принтери за удължаване на срока на годност на мастилената лента.

Абразивен пръстен в механизмите за заточване е създаден на базата на лента на Мьобиус и работи автоматична трансмисия.

В момента много изобретатели използват свойствата на тази лента за провеждане на експерименти и създаване на нови устройства.

Лентата на Мобиус продължава да предизвиква постоянен интерес не само сред математиците и изобретателите, но и сред обикновените хора. Тя вдъхновява художниците да създават мистериозни произведения и фантастични теории. Експериментирането с тази интересна фигура е увлекателно занимание както за възрастни, така и за деца. Неговите свойства са намерили своето приложение в науката, технологиите и в бита. Лентата на Мьобиус е забавна математическа гатанка, която крие смисъла на идеалистичното разбиране за структурата на Вселената; влиянието й върху живота ни може да се изучава безкрайно.

Лента на Мьобиус (примка на Мьобиус, лента на Мьобиус)- проста на вид фигура, но математикът би казал, че това е двуизмерна повърхност с невероятни свойства: има само една страна и един ръб, за разлика от обикновения пръстен, който може да се навие от същата лента като Мьобиус лента, но ще има две страни и два ръба. Можете лесно да проверите това, ако нарисувате линия в средата на лентата, без да вдигате молива от хартията, докато се върнете в началната точка. Изненадващо, но вярно: поради половин оборот на лентата, нейните горни и долни ръбове се сляха в една непрекъсната линия, а двете страни се превърнаха в едно цяло и станаха една страна. И ето го резултатът: можете да стигнете от една точка на лентата на Мьобиус до всяка друга, без да преминавате през ръба.

Бягане по лента на Мьобиус

За външен наблюдател пътуването по лентата на Мьобиус е „бягане в кръг“, пълно с изненади. Ясно е изобразен от холандския график Мауриц Ешер (1898-1972). В картината „Лентата на Мьобиус II” мравките тичат. Следвайки движението им, можете да направите интересно откритие. След като направи едно завъртане по дължината на лентата, всяка мравка ще бъде в началната точка, но вече в позицията на антипод - визуално ще бъде „от другата страна“ на лентата с главата надолу. Какво се случва с двуизмерно същество, което се движи по лента на Мьобиус? След като обиколи повърхността, тя ще се превърне в огледален образ (това е лесно да си представите, ако смятате лентата за прозрачна). За да стане себе си, едно двуизмерно същество ще трябва да направи още един кръг. Така че мравката трябва да премине по лентата на Мьобиус два пъти, за да се върне в началната си позиция.

Научно любопитство или полезно откритие

Лентата на Мьобиус често се нарича математическо любопитство. И самата му поява се приписва на случайността. Според легендата панделката е изобретена от немски учен, когато видял неправилно вързана кърпа на прислужница. Той е известен математик и астроном, ученик на Карл Фридрих Гаус. Той описва едностранна повърхност с един ръб още през 1858 г., но статията не е публикувана приживе. През същата година, независимо от Мобиус, подобно откритие прави Йохан Листинг, друг ученик на Гаус.

Лентата все още беше кръстена на Мьобиус. Той стана един от първите обекти на топологията - наука, която изучава най-общите свойства на фигурите, а именно тези, които се запазват при непрекъснати (без разрязване или залепване) трансформации: разтягане, притискане, огъване, усукване и т.н. Тези трансформации приличат на деформации на фигури, направени от каучук, Следователно топологията се нарича иначе „гумена геометрия“. Някои топологични проблеми са решени от Леонхард Ойлер още през 18 век. Началото на нова област на математиката е положено от работата на Листинг „Предварителни изследвания в топологията“ (1847 г.), първата систематична работа по тази наука. Той също така въвежда термина "топология" (от гръцките думи τόπος - място и λόγος - преподаване).

Лентата на Мьобиус можеше да се смята за научно любопитство, поредната приумица на математиците, ако не беше намерила практическо приложение и не вдъхновяваше художници. Художници са я изобразявали неведнъж, скулптори са й издигали паметници, а писатели са й посвещавали своите творения. Тази необичайна повърхност привлече вниманието на архитекти, дизайнери, бижутери и дори производители на дрехи и мебели. Изобретатели, дизайнери и инженери обърнаха внимание на това (например през 20-те години на миналия век бяха патентовани аудио и филмови ленти под формата на лента на Мьобиус, което позволява удвояване на продължителността на записа). Но магьосниците се занимават с тази лента по-често от другите: те са привлечени от необичайните свойства, които се появяват, когато се разреже.Така че, ако разрежете лентата на Мьобиус по средната линия, тя няма да се раздели на две части, както бихте очаквали . Ще направи по-тясна и по-дълга двустранна лента, усукана два пъти (дизайнът на влакчето в увеселителен парк има подобна форма). Ето един „кулинарен трик“: тортите във формата на лента на Мьобиус ще изглеждат по-вкусни от обикновените, защото можете да ги намажете с двойно повече крем! Освен това има интересни архитектурни проекти на сгради, направени „в стила на лентата на Мьобиус“. Засега съществуват само на хартия, но искам да вярвам, че със сигурност ще бъдат изпълнени.

„Двусмислена“ позиция

По свойствата си лентата на Мьобиус всъщност наподобява обект от „През огледалото“. А самата тя, тъй като е асиметрична фигура, има огледален двойник. Нека изпратим отпечатъка на десния крак на разходка по лентата и скоро ще открием, че отпечатъкът на левия крак ще се върне у дома. Смешно е, нали? И кога „дясното” успя да стане „ляво”? Нека „монтираме“ двуизмерен часовник в лентата и да го принудим да направи пълен оборот по нея. Поглеждайки часовника, ще видим, че стрелките на циферблата се движат със същата скорост, но в обратна посока! И коя от двете посоки на движение е правилната?

Докато обмисляте отговора, отбелязвам, че един математик би предложил елегантен изход дори от тази „двусмислена“ ситуация. Необходимо е, първо, часовникът да показва винаги едно и също време, и второ, стрелките на циферблата трябва да са в позиция, която би се запазила в огледално отражение, например да стоят вертикално, образувайки обратен ъгъл.

Е, нека проверим отговора? Всъщност е невъзможно да се зададе конкретна посока на въртене на лента на Мьобиус. Едно и също движение може да се възприеме както като завъртане по часовниковата стрелка, така и като завъртане в обратната посока. Когато точка, произволно избрана на лентата на Мьобиус, я обиколи, една посока непрекъснато се променя в друга. В същото време „дясно“ е неусетно заменено с „ляво“. Едно двуизмерно същество няма да забележи никакви промени в себе си. Но те ще бъдат видени от други подобни създания и, разбира се, от нас, които наблюдаваме случващото се от друго измерение. Това е толкова непредсказуема, едностранна повърхност на Мьобиус.