Věta o kinetické energii odvození vzorce. Shrnutí lekce "Kinetická energie"

Kinetická energie.

Nedílnou vlastností hmoty je pohyb. Různé formy pohybu hmoty jsou schopny vzájemných přeměn, které, jak je stanoveno, probíhají v přesně definovaných kvantitativních poměrech. Jediným měřítkem různých forem pohybu a typů interakce hmotných objektů je energie.

Energie závisí na parametrech stavu systému, ᴛ.ᴇ. takové fyzikální veličiny, které charakterizují některé podstatné vlastnosti systému. Energie, závislá na dvou vektorových parametrech charakterizujících mechanický stav systému, a to poloměrovém vektoru, který určuje polohu jednoho tělesa vůči druhému, a rychlosti, která určuje rychlost pohybu tělesa v prostoru, se nazývá mechanická.

V klasické mechanice se zdá možné rozdělit mechanickou energii na dva členy, z nichž každý závisí pouze na jednom parametru:

kde je potenciální energie v závislosti na relativní poloze interagujících těles; - kinetická energie, závislá na rychlosti pohybu tělesa v prostoru.

Mechanická energie makroskopických těles se může měnit pouze prací.

Najděte výraz pro kinetickou energii translačního pohybu mechanického systému. Stojí za to říci, že pro začátek uvažujme hmotný bod s hmotností m. Předpokládejme, že jeho rychlost v určitém okamžiku t rovná . Určeme práci výsledné síly působící na hmotný bod po určitou dobu:

Vzhledem k tomu, že na základě definice skalárního součinu

kde je počáteční a konečná rychlost bodu.

Velikost

Je zvykem nazývat to kinetická energie hmotného bodu.

Pomocí tohoto konceptu bude vztah (4.12) zapsán ve tvaru

Z (4.14) vyplývá, že energie má stejný rozměr jako práce, a proto se měří ve stejných jednotkách.

Jinými slovy, práce vyplývající ze všech sil působících na hmotný bod se rovná přírůstku kinetické energie tohoto bodu. Všimněte si, že zvýšení kinetické energie může být pozitivní nebo negativní v závislosti na znamení vykonané práce (síla může buď zrychlit nebo zpomalit pohyb těla). Toto tvrzení se obvykle nazývá věta o kinetické energii.

Získaný výsledek lze snadno zobecnit na případ translačního pohybu libovolné soustavy hmotných bodů. Kinetická energie systému se obvykle nazývá součtem kinetických energií hmotných bodů, ze kterých se tento systém skládá. Sečtením vztahů (4.13) pro každý hmotný bod soustavy opět získáme vzorec (4.13), ale pro soustavu hmotných bodů:

Kde m– hmotnost celého systému.

Všimněte si, že mezi větou o kinetické energii (zákon o změně kinetické energie) a zákonem o změně hybnosti soustavy je podstatný rozdíl. Jak známo, přírůstek hybnosti systému je určen pouze vnějšími silami. Vnitřní síly díky rovnosti akce a reakce nemění hybnost systému. To není případ kinetické energie. Práce vykonaná vnitřními silami, obecně řečeno, nezmizí. Když se například pohybují dva hmotné body, které na sebe vzájemně působí přitažlivými silami, každá ze sil bude konat pozitivní práci a nárůst kinetické energie celého systému bude pozitivní. Nárůst kinetické energie je tedy dán prací nejen vnějších, ale i vnitřních sil.

- Věta o kinetické energii

Liniový integrál 2. druhu, jehož výpočet je zpravidla jednodušší než výpočet křivočarého integrálu 1. druhu. Síla síly je práce vykonaná silou za jednotku času. Protože v nekonečně malém čase dt síla působí dA = fsds = fdr, pak výkon...

Skalární veličina T, rovna součtu kinetických energií všech bodů soustavy, se nazývá kinetická energie soustavy.

Kinetická energie je charakteristická pro translační a rotační pohyb systému. Jeho změna je ovlivněna působením vnějších sil a jelikož se jedná o skalár, nezávisí na směru pohybu částí soustavy.

Pojďme najít kinetickou energii pro různé případy pohybu:

1.Pohyb vpřed

Rychlosti všech bodů soustavy se rovnají rychlosti těžiště. Pak

Kinetická energie soustavy při translačním pohybu je rovna polovině součinu hmotnosti soustavy a druhé mocniny rychlosti těžiště.

2. Rotační pohyb(obr. 77)

Rychlost libovolného bodu na těle: . Pak

nebo pomocí vzorce (15.3.1):

Kinetická energie tělesa při rotaci je rovna polovině součinu momentu setrvačnosti tělesa vůči ose rotace a druhé mocniny jeho úhlové rychlosti.

3. Rovinně-paralelní pohyb

Pro daný pohyb se kinetická energie skládá z energie translačních a rotačních pohybů

Obecný případ pohybu dává vzorec pro výpočet kinetické energie podobný předchozímu.

Definici práce a výkonu jsme provedli v odstavci 3 kapitoly 14. Zde se podíváme na příklady výpočtu práce a výkonu sil působících na mechanický systém.

1.Práce gravitačních sil. Nechť , souřadnice počáteční a konečné polohy bodu k tělesa. Práce, kterou vykoná gravitační síla působící na tuto částici hmotnosti, bude . Pak kompletní práce:

kde P je hmotnost soustavy hmotných bodů, je vertikální posunutí těžiště C.

2. Práce sil působících na rotující těleso.

Podle vztahu (14.3.1) můžeme psát , ale ds podle obrázku 74 lze pro svou nekonečnou malost znázornit ve tvaru - nekonečně malý úhel natočení tělesa. Pak

Velikost nazývaný točivý moment.

Vzorec (19.1.6) přepíšeme jako

Elementární práce je rovna součinu momentu krát elementární rotace.

Při otáčení o konečný úhel máme:

Pokud je točivý moment konstantní, pak

a určíme mocninu ze vztahu (14.3.5)

jako součin točivého momentu a úhlové rychlosti tělesa.

Věta o změně kinetické energie prokázaná pro bod (§ 14.4) bude platit pro jakýkoli bod v soustavě

Složením takových rovnic pro všechny body systému a jejich sečtením po členech získáme:

nebo podle (19.1.1):

což je vyjádření věty o kinetické energii systému v diferenciálním tvaru.

Integrací (19.2.2) získáme:

Věta o změně kinetické energie v konečné podobě: změna kinetické energie systému při nějakém konečném posunutí je rovna součtu práce vykonané na tomto posunutí všech vnějších a vnitřních sil působících na systém.

Zdůrazňujeme, že nejsou vyloučeny vnitřní síly. Pro neměnný systém je součet práce všech vnitřních sil nulový a

Pokud se omezení kladená na systém v průběhu času nemění, pak lze síly, vnější i vnitřní, rozdělit na aktivní a reakční omezení a nyní lze napsat rovnici (19.2.2):

V dynamice se zavádí pojem „ideální“ mechanický systém. Jedná se o systém, ve kterém přítomnost spojení neovlivňuje změnu kinetické energie, tzn

Takové spoje, které se nemění s časem a jejichž součet práce na elementárním posunutí je nulový, se nazývají ideální a rovnice (19.2.5) bude napsána:

Potenciální energie hmotného bodu v dané poloze M je skalární veličina P, která se rovná práci, kterou vyvinou síly pole při pohybu bodu z polohy M do nuly.

P = A (měsíc) (19.3.1)

Potenciální energie závisí na poloze bodu M, tedy na jeho souřadnicích

P = P(x,y,z) (19.3.2)

Vysvětleme si zde, že silové pole je část prostorového objemu, v jehož každém bodě působí na částici síla určité velikosti a směru v závislosti na poloze částice, tedy na souřadnicích x, v závislosti na poloze částice. y, z. Například gravitační pole Země.

Zavolá se funkce U souřadnic, jejichž diferenciál je roven práci výkonová funkce. Silové pole, pro které existuje silová funkce, se nazývá potenciální silové pole, a síly působící v tomto poli jsou potenciální síly.

Nechť se nulové body pro dvě silové funkce P(x,y,z) a U(x,y,z) shodují.

Pomocí vzorce (14.3.5) získáme, tzn. dA = dU(x,y,z) a

kde U je hodnota silové funkce v bodě M. Odtud

П(x,y,z) = -U(x,y,z) (19.3.5)

Potenciální energie v libovolném bodě silového pole je rovna hodnotě silové funkce v tomto bodě, brané s opačným znaménkem.

To znamená, že při zvažování vlastností silového pole můžeme místo silové funkce uvažovat potenciální energii a zejména rovnice (19.3.3) bude přepsána jako

Práce vykonaná potenciální silou se rovná rozdílu mezi hodnotami potenciální energie pohybujícího se bodu v počáteční a konečné poloze.

Zejména práce gravitace:

Nechť všechny síly působící na systém jsou potenciální. Pak pro každý bod k soustavy je práce rovna

Pak pro všechny síly, vnější i vnitřní, budou existovat

kde je potenciální energie celého systému.

Tyto součty dosadíme do výrazu pro kinetickou energii (19.2.3):

nebo nakonec:

Při pohybu pod vlivem potenciálních sil zůstává součet kinetické a potenciální energie soustavy v každé její poloze konstantní. To je zákon zachování mechanické energie.

Břemeno o hmotnosti 1 kg vykonává volné vibrace podle zákona x = 0,1 sinl0t. Součinitel tuhosti pružiny c = 100 N/m. Určete celkovou mechanickou energii zátěže při x = 0,05 m, je-li při x = 0 potenciální energie nulová . (0,5)

Zatížení o hmotnosti m = 4 kg při pádu způsobí otáčení válce o poloměru R = 0,4 m pomocí závitu Moment setrvačnosti válce vzhledem k ose otáčení je I = 0,2. Určete kinetickou energii soustavy těles v okamžiku, kdy rychlost zatížení v = 2m/s . (10,5)

Kinetická energie hmotného bodu je vyjádřena polovinou součinu hmotnosti tohoto bodu a druhé mocniny jeho rychlosti.

Větu o kinetické energii hmotného bodu lze vyjádřit ve třech formách:

tj. diferenciál kinetické energie hmotného bodu je roven elementární práci síly působící na tento bod;

to znamená, že časová derivace kinetické energie hmotného bodu se rovná síle síly působící na tento bod:

to znamená, že změna kinetické energie hmotného bodu na konečné dráze je rovna práci síly působící na bod na stejné dráze.

Tabulka 17. Klasifikace úkolů

Působí-li na bod více sil, pak pravé strany rovnic zahrnují práci nebo výkon výslednice těchto sil, která se rovná součtu práce nebo mocnin všech složek sil.

V případě přímočarého pohybu bodu, který směřuje osu podél přímky, po které se bod pohybuje, máme:

kde , protože v tomto případě výslednice všech sil působících na bod směřuje podél osy x.

Při aplikaci věty o kinetické energii v případě nevolného pohybu hmotného bodu je třeba mít na paměti následující: pokud je na bod uvalena dokonalá stacionární vazba (bod se pohybuje po absolutně hladké stacionární ploše nebo přímce ), pak vazebná reakce není v rovnicích zahrnuta, protože tato reakce směřuje podél normály k trajektorii bodu, a proto je její práce rovna nule. Pokud musíme vzít v úvahu tření, pak do rovnice kinetické energie vstoupí práce nebo výkon třecí síly.

Úkoly související s tímto odstavcem lze rozdělit do dvou hlavních typů.

I. Úlohy o aplikaci věty o kinetické energii pro přímočarý pohyb bodu.

II. Úlohy o aplikaci věty o kinetické energii při křivočarém pohybu bodu.

Kromě toho lze úkoly související s typem I rozdělit do tří skupin:

1) síla působící na bod (nebo výslednice několika sil) je konstantní, tj. kde X je průmět síly (nebo výslednice) na osu směřující podél přímočaré trajektorie bodu;

2) síla působící na bod (nebo výslednici) je funkcí vzdálenosti (úsečka tohoto bodu), tzn.

3) síla působící na bod (nebo výslednice) je funkcí rychlosti tohoto bodu, tzn.

Úlohy typu II lze rozdělit do tří skupin:

1) síla působící na bod (nebo výslednice) je konstantní jak ve velikosti, tak ve směru (např. tíhová síla);

2) síla působící na bod (nebo výslednici) je funkcí polohy tohoto bodu (funkcí souřadnic bodu);

3) pohyb bodu za přítomnosti odporových sil.

Pohled: tento článek byl přečten 48362 krát

Pdf Vyberte jazyk... Ruština Ukrajinština Angličtina

Krátká recenze

Celý materiál se po výběru jazyka stáhne výše

Dva případy transformace mechanického pohybu hmotného bodu nebo soustavy bodů:

1. mechanický pohyb se přenáší z jednoho mechanického systému do druhého jako mechanický pohyb;
2. mechanický pohyb přechází v jinou formu pohybu hmoty (do formy potenciální energie, tepla, elektřiny atd.).

Při uvažování transformace mechanického pohybu bez jeho přechodu do jiné formy pohybu je mírou mechanického pohybu vektor hybnosti hmotného bodu nebo mechanické soustavy. Mírou síly je v tomto případě vektor silového impulsu.

Když se mechanický pohyb změní v jinou formu pohybu hmoty, kinetická energie hmotného bodu nebo mechanického systému působí jako míra mechanického pohybu. Mírou působení síly při přeměně mechanického pohybu na jinou formu pohybu je síla

Kinetická energie

Kinetická energie je schopnost těla překonat překážku při pohybu.

Kinetická energie hmotného bodu

Kinetická energie hmotného bodu je skalární veličina, která se rovná polovině součinu hmotnosti bodu a druhé mocniny jeho rychlosti.

Kinetická energie:

• charakterizuje translační i rotační pohyby;
• nezávisí na směru pohybu bodů systému a necharakterizuje změny v těchto směrech;
• charakterizuje působení vnitřních i vnějších sil.

Kinetická energie mechanické soustavy

Kinetická energie soustavy je rovna součtu kinetických energií těles soustavy. Kinetická energie závisí na typu pohybu těles soustavy.

Stanovení kinetické energie pevného tělesa pro různé druhy pohybu.

Kinetická energie translačního pohybu
Při translačním pohybu je kinetická energie tělesa rovna T=m V 2 /2.

Mírou setrvačnosti tělesa při translačním pohybu je hmotnost.

Kinetická energie rotačního pohybu tělesa

Při rotačním pohybu tělesa je kinetická energie rovna polovině součinu momentu setrvačnosti tělesa vůči ose rotace a druhé mocnině jeho úhlové rychlosti.

Mírou setrvačnosti tělesa při rotačním pohybu je moment setrvačnosti.

Kinetická energie tělesa nezávisí na směru otáčení tělesa.

Kinetická energie rovinně paralelního pohybu tělesa

Při planparalelním pohybu tělesa je kinetická energie rovna

Práce síly

Sílová práce charakterizuje působení síly na těleso při nějakém pohybu a určuje změnu modulu rychlosti pohybujícího se bodu.

Elementární práce síly

Elementární práce síly je definována jako skalární veličina rovna součinu průmětu síly na tečnu k trajektorii, směřující ve směru pohybu bodu, a nekonečně malého posunutí bodu, směřujícího podél této dráhy. tečna.

Práce vykonávaná silou na konečném přemístění

Práce vykonaná silou při konečném přemístění se rovná součtu její práce na elementárních řezech.

Práce síly při konečném posunutí M 1 M 0 je rovna integrálu elementární práce podél tohoto posunutí.

Práce síly na posunutí M 1 M 2 je znázorněna plochou obrázku omezenou osou úsečky, křivkou a pořadnicemi odpovídajícími bodům M 1 a M 0.

Jednotkou měření práce síly a kinetické energie v soustavě SI je 1 (J).

Věty o práci síly

Věta 1. Práce vykonaná výslednou silou při určitém přemístění se rovná algebraickému součtu práce vykonané složkovými silami při stejném přemístění.

Věta 2. Práce vykonaná konstantní silou na výsledném přemístění se rovná algebraickému součtu práce, kterou tato síla vykoná na přemístění komponent.

Napájení

Výkon je veličina, která určuje práci síly za jednotku času.

Jednotkou měření výkonu je 1W = 1 J/s.

Případy určování práce sil

Práce vnitřních sil

Součet práce vykonané vnitřními silami tuhého tělesa při jakémkoli pohybu je nulový.

Práce gravitace

Práce pružné síly

Práce třecí síly

Práce sil působících na rotující těleso

Elementární práce sil působících na tuhé těleso rotující kolem pevné osy je rovna součinu hlavního momentu vnějších sil vzhledem k ose rotace a přírůstku úhlu rotace.

Valivý odpor

V kontaktní zóně stacionárního válce a roviny dochází k lokální deformaci kontaktního stlačení, napětí je rozloženo podle eliptického zákona a přímka působení výslednice N těchto napětí se shoduje s linií působení zatížení. síla na válec Q. Když se válec odvaluje, rozložení zatížení se stává asymetrickým s maximem posunutým směrem k pohybu. Výslednice N je posunuta o velikost k - rameno valivé třecí síly, které se také říká součinitel valivého tření a má rozměr délky (cm)

Věta o změně kinetické energie hmotného bodu

Změna kinetické energie hmotného bodu při určitém posunutí je rovna algebraickému součtu všech sil působících na bod při stejném posunutí.

Věta o změně kinetické energie mechanické soustavy

Změna kinetické energie mechanické soustavy při určitém posunutí je rovna algebraickému součtu vnitřních a vnějších sil působících na hmotné body systému při stejném posunutí.

Věta o změně kinetické energie pevného tělesa

Změna kinetické energie tuhého tělesa (nezměněného systému) při určitém posunutí je rovna součtu vnějších sil působících na body systému při stejném posunutí.

Účinnost

Síly působící v mechanismech

Síly a dvojice sil (momenty), které působí na mechanismus nebo stroj, lze rozdělit do skupin:

1. Hnací síly a momenty, které vykonávají kladnou práci (aplikované na hnací články, např. tlak plynu na píst spalovacího motoru).

2. Síly a momenty odporu, které vykonávají negativní práci:

• užitečný odpor (vykonávají práci požadovanou od stroje a působí na hnané články, například odpor břemene zvednutého strojem),
• odporové síly (například třecí síly, odpor vzduchu atd.).

3. Tíhové síly a pružné síly pružin (kladná i záporná práce, přičemž práce za celý cyklus je nulová).

4. Síly a momenty působící na tělo nebo stojan zvenčí (reakce základu atd.), které nefungují.

5. Interakční síly mezi články působícími v kinematických dvojicích.

6. Setrvačné síly článků, způsobené hmotností a pohybem článků se zrychlením, mohou vykonávat pozitivní, negativní práci a nevykonávají práci.

Práce sil v mechanismech

Při ustáleném provozu stroje se jeho kinetická energie nemění a součet práce hnacích a odporových sil na něj působících je roven nule.

Práce vynaložená na uvedení stroje do pohybu je vynaložena na překonání užitečných a škodlivých odporů.

Účinnost mechanismů

Mechanická účinnost při ustáleném pohybu se rovná poměru užitečné práce stroje k práci vynaložené na uvedení stroje do pohybu:

Strojní prvky mohou být zapojeny sériově, paralelně a smíšeně.

Účinnost v sériovém zapojení

Když jsou mechanismy zapojeny do série, celková účinnost je menší než nejnižší účinnost jednotlivého mechanismu.

Účinnost v paralelním zapojení

Při paralelním zapojení mechanismů je celková účinnost větší než nejnižší a menší než nejvyšší účinnost jednotlivého mechanismu.

Formát: pdf

Jazyk: ruština, ukrajinština

Příklad výpočtu čelního ozubeného kola
Příklad výpočtu čelního ozubeného kola. Byl proveden výběr materiálu, výpočet dovolených napětí, výpočet kontaktní a ohybové pevnosti.

Příklad řešení problému ohybu nosníku
V příkladu byly sestrojeny diagramy příčných sil a ohybových momentů, nalezen nebezpečný úsek a vybrán I-nosník. Úloha analyzovala konstrukci diagramů pomocí diferenciálních závislostí a provedla srovnávací analýzu různých průřezů nosníku.

Příklad řešení problému kroucení hřídele
Úkolem je otestovat pevnost ocelového hřídele při daném průměru, materiálu a dovoleném napětí. Při řešení se konstruují diagramy momentů, smykových napětí a úhlů zkroucení. Vlastní hmotnost hřídele se nebere v úvahu

Příklad řešení problému tah-komprese tyče
Úkolem je otestovat pevnost ocelové tyče při stanovených dovolených napětích. Při řešení se konstruují diagramy podélných sil, normálových napětí a posuvů. Vlastní hmotnost prutu se nebere v úvahu

Aplikace věty o zachování kinetické energie
Příklad řešení úlohy pomocí věty o zachování kinetické energie mechanické soustavy